Google
Câu hỏi: Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)-mx+1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ là
A. $\left[ -1;1 \right].$
B. $\left( -\infty ;-1 \right).$
C. $\left( -\infty ;-1 \right].$
D. $\left( -1;1 \right).$
A. $\left[ -1;1 \right].$
B. $\left( -\infty ;-1 \right).$
C. $\left( -\infty ;-1 \right].$
D. $\left( -1;1 \right).$
TXĐ: $D=\mathbb{R}$ ta có: $y'=\dfrac{2x}{{{x}^{2}}+1}-m=\dfrac{-m{{x}^{2}}+2x-m}{{{x}^{2}}+1}$
Với $m=0\Rightarrow y'=\dfrac{2x}{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow $ hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right).$
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)\Leftrightarrow -m{{x}^{2}}+2x-m\ge 0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-m>0 \\
& \Delta '=1-{{m}^{2}}\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left( -\infty ;-1 \right].$
Với $m=0\Rightarrow y'=\dfrac{2x}{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow $ hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right).$
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)\Leftrightarrow -m{{x}^{2}}+2x-m\ge 0\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-m>0 \\
& \Delta '=1-{{m}^{2}}\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left( -\infty ;-1 \right].$
Đáp án C.