Google
Câu hỏi: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $\left( \sin x-1 \right)\left( \cos x-m \right)=0$ có đúng hai nghiệm phân biệt trên $\left( -\dfrac{\pi }{3} ; \dfrac{\pi }{2} \right)$ là
A. $\left[ 0 ; \dfrac{1}{2} \right]$.
B. $\left[ \dfrac{1}{2} ; 1 \right)$.
C. $\left[ \dfrac{1}{2} ; 1 \right]$.
D. $\left( \dfrac{1}{2} ; 1 \right)$.
A. $\left[ 0 ; \dfrac{1}{2} \right]$.
B. $\left[ \dfrac{1}{2} ; 1 \right)$.
C. $\left[ \dfrac{1}{2} ; 1 \right]$.
D. $\left( \dfrac{1}{2} ; 1 \right)$.
$\left( \sin x-1 \right)\left( \cos x-m \right)=0 (*)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \sin x=1 \\
& \cos x=m \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z}) \\
& \cos x=m \\
\end{aligned} \right.$.
Với $x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$ thì không có $x\in \left( -\dfrac{\pi }{3} ; \dfrac{\pi }{2} \right)$.
Như vậy phương trình $\left( * \right)$ có đúng hai nghiệm phân biệt trên $\left( -\dfrac{\pi }{3} ; \dfrac{\pi }{2} \right)$ $\Leftrightarrow $ phương trình $\cos x=m$ có hai nghiệm phân biệt trên $\left( -\dfrac{\pi }{3} ; \dfrac{\pi }{2} \right)$ $\Leftrightarrow m\in \left( \dfrac{1}{2} ; 1 \right)$ (hình vẽ minh họa bên dưới).
Do đó $m\in \left( \dfrac{1}{2} ; 1 \right)$.
& \sin x=1 \\
& \cos x=m \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z}) \\
& \cos x=m \\
\end{aligned} \right.$.
Với $x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$ thì không có $x\in \left( -\dfrac{\pi }{3} ; \dfrac{\pi }{2} \right)$.
Như vậy phương trình $\left( * \right)$ có đúng hai nghiệm phân biệt trên $\left( -\dfrac{\pi }{3} ; \dfrac{\pi }{2} \right)$ $\Leftrightarrow $ phương trình $\cos x=m$ có hai nghiệm phân biệt trên $\left( -\dfrac{\pi }{3} ; \dfrac{\pi }{2} \right)$ $\Leftrightarrow m\in \left( \dfrac{1}{2} ; 1 \right)$ (hình vẽ minh họa bên dưới).
Do đó $m\in \left( \dfrac{1}{2} ; 1 \right)$.
Đáp án D.