Google
Câu hỏi: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y={{x}^{3}}+3m{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x+{{m}^{3}}$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khoảng $\left( a;b \right)$. Giá trị của $a+2b$ bằng
A. $\dfrac{4}{3}$.
B. $\dfrac{3}{2}$.
C. 1.
D. $\dfrac{2}{3}$.
A. $\dfrac{4}{3}$.
B. $\dfrac{3}{2}$.
C. 1.
D. $\dfrac{2}{3}$.
${y}'=3{{x}^{2}}+6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2mx+{{m}^{2}}-1=0$
Ta có ${\Delta }'=1\Rightarrow {y}'=0$ có 2 nghiệm
$\left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=-m+1 \\
& {{x}_{2}}=-m-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{y}_{1}}={{\left( -m+1 \right)}^{3}}+3m{{\left( -m+1 \right)}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)\left( -m+1 \right)+{{m}^{3}}=3m-2 \\
& {{y}_{2}}={{\left( -m-1 \right)}^{3}}+3m{{\left( -m-1 \right)}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)\left( -m-1 \right)+{{m}^{3}}=3m+2 \\
\end{aligned} \right.$
để 2 cực trị nằm về hai phía trục hoành $\Rightarrow {{y}_{1}}.{{y}_{2}}<0\Leftrightarrow \dfrac{-2}{3}<m<\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow a=\dfrac{-2}{3}$ ; $b=\dfrac{2}{3}\Rightarrow a+2b=\dfrac{2}{3}$.
Ta có ${\Delta }'=1\Rightarrow {y}'=0$ có 2 nghiệm
$\left[ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=-m+1 \\
& {{x}_{2}}=-m-1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{y}_{1}}={{\left( -m+1 \right)}^{3}}+3m{{\left( -m+1 \right)}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)\left( -m+1 \right)+{{m}^{3}}=3m-2 \\
& {{y}_{2}}={{\left( -m-1 \right)}^{3}}+3m{{\left( -m-1 \right)}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)\left( -m-1 \right)+{{m}^{3}}=3m+2 \\
\end{aligned} \right.$
để 2 cực trị nằm về hai phía trục hoành $\Rightarrow {{y}_{1}}.{{y}_{2}}<0\Leftrightarrow \dfrac{-2}{3}<m<\dfrac{2}{3}$
$\Rightarrow a=\dfrac{-2}{3}$ ; $b=\dfrac{2}{3}\Rightarrow a+2b=\dfrac{2}{3}$.
Đáp án D.