Google
Câu hỏi: Tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình ${{2}^{x}}+3=m\sqrt{{{4}^{x}}+1}$ có hai nghiệm thực phân biệt là $\left( a;\sqrt{b} \right)$. Tính $S=2a+3b$.
A. $S=29$.
B. $S=28$.
C. $S=32$.
D. $S=36$.
A. $S=29$.
B. $S=28$.
C. $S=32$.
D. $S=36$.
Đặt $t={{2}^{x}}$ > 0 ta được $t+3=m\sqrt{{{t}^{2}}+1}\Rightarrow m=\dfrac{t+3}{\sqrt{{{t}^{2}}+1}}=f\left( t \right)$ với $t>0$
Khi đó ${f}'\left( t \right)=\dfrac{\sqrt{{{t}^{2}}+1}-\dfrac{\left( t+3 \right)t}{\sqrt{{{t}^{2}}+1}}}{{{t}^{2}}+1}=\dfrac{1-3t}{\sqrt{{{\left( {{t}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}$ suy ra bảng biến thiên
Dựa vào BBT suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi $m\in \left( 3;\sqrt{10} \right)$
Do đó $a=3,b=10\Rightarrow S=36$.
Khi đó ${f}'\left( t \right)=\dfrac{\sqrt{{{t}^{2}}+1}-\dfrac{\left( t+3 \right)t}{\sqrt{{{t}^{2}}+1}}}{{{t}^{2}}+1}=\dfrac{1-3t}{\sqrt{{{\left( {{t}^{2}}+1 \right)}^{3}}}}$ suy ra bảng biến thiên
Dựa vào BBT suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi $m\in \left( 3;\sqrt{10} \right)$
Do đó $a=3,b=10\Rightarrow S=36$.
Đáp án D.