Google
Câu hỏi: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn $\left| \dfrac{z}{z-i} \right|=3$ là đường nào?
A. Một đường thẳng.
B. Một đường parabol.
C. Một đường tròn.
D. Một đường elip.
A. Một đường thẳng.
B. Một đường parabol.
C. Một đường tròn.
D. Một đường elip.
Gọi $z=x+yi,x,y\in \mathbb{R},z\ne i$.
$\left| \dfrac{z}{z-i} \right|=3\Leftrightarrow \left| z \right|=3\left| z-i \right|\Leftrightarrow \left| x+yi \right|=3\left| x+yi-i \right|\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=3\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=9\left[ {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}} \right]\Leftrightarrow 8{{x}^{2}}+8{{y}^{2}}-18y+9=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-\dfrac{9}{4}y+\dfrac{9}{8}=0$ (thỏa mãn).
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn.
$\left| \dfrac{z}{z-i} \right|=3\Leftrightarrow \left| z \right|=3\left| z-i \right|\Leftrightarrow \left| x+yi \right|=3\left| x+yi-i \right|\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=3\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=9\left[ {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}} \right]\Leftrightarrow 8{{x}^{2}}+8{{y}^{2}}-18y+9=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-\dfrac{9}{4}y+\dfrac{9}{8}=0$ (thỏa mãn).
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn.
Đáp án C.