Tập hợp các số thực m để phương trình $\ln \left( 3x-mx+1...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Tập hợp các số thực m để phương trình

\ln (3 x - m x + 1) = \ln (- x^{2} + 4 x - 3)

có nghiệm là nửa khoảng

[a; b) .

Tổng

a + b

bằng
A.

\frac{10}{3} .

B. 4.
C.

\frac{22}{3} .

D. 7.

HD: Ta có phương trình

\Leftrightarrow {\begin{aligned} - x^{2} + 4 x - 3 > 0 \\ 3 x - m x + 1 = - x^{2} + 4 x - 3 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} 1 < x < 3 \\ x^{2} - x + 4 = m x \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} 1 < x < 3 \\ x - 1 + \frac{4}{x} = m \end{aligned}

Xét hàm số

f (x) = x + \frac{4}{x} - 1

với

x \in (1; 3)

ta có:

f^{'} (x) = 1 - \frac{4}{x^{2}} = 0 \overset{x \in (1; 3)}{\to} x = 2

Mặt khác

lim_{x \to 1} f (x) = 4; f (2) = 3; lim_{x \to 3} f (x) = \frac{10}{3}

Do đó phương trình có nghiệm khi

m \in [3; 4) \Rightarrow {\begin{aligned} a = 3 \\ b = 4 \end{aligned} \Rightarrow a + b = 7.

Đáp án D.