Google
Câu hỏi: Tập hợp các giá trị của tham số thực m để phương trình ${{6}^{x}}+\left( 3-m \right){{2}^{x}}-m=0$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;1 \right)$ là
A. $\left[ 3;4 \right]$
B. $\left[ 2;4 \right]$
C. $\left( 2;4 \right)$
D. $\left( 3;4 \right)$
A. $\left[ 3;4 \right]$
B. $\left[ 2;4 \right]$
C. $\left( 2;4 \right)$
D. $\left( 3;4 \right)$
Ta có: ${{6}^{x}}+\left( 3-m \right){{2}^{x}}-m=0\left( 1 \right)\Leftrightarrow \dfrac{{{6}^{x}}+{{3.2}^{x}}}{{{2}^{x}}+1}=m$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{6}^{x}}+{{3.2}^{x}}}{{{2}^{x}}+1}$ xác định trên $\mathbb{R}$
Có $f'\left( x \right)=\dfrac{{{12}^{x}}.\ln 3+{{6}^{x}}.\ln 6+{{3.2}^{x}}.\ln 2}{{{\left( {{2}^{x}}+1 \right)}^{2}}}>0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Suy ra $0<x<1\Leftrightarrow f\left( 0 \right)<f\left( x \right)<f\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2<f\left( x \right)<4$ vì $f\left( 0 \right)=2$, $f\left( 1 \right)=4$
Vậy phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;1 \right)$ khi $m\in \left( 2;4 \right)$
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{{{6}^{x}}+{{3.2}^{x}}}{{{2}^{x}}+1}$ xác định trên $\mathbb{R}$
Có $f'\left( x \right)=\dfrac{{{12}^{x}}.\ln 3+{{6}^{x}}.\ln 6+{{3.2}^{x}}.\ln 2}{{{\left( {{2}^{x}}+1 \right)}^{2}}}>0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ nên hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Suy ra $0<x<1\Leftrightarrow f\left( 0 \right)<f\left( x \right)<f\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2<f\left( x \right)<4$ vì $f\left( 0 \right)=2$, $f\left( 1 \right)=4$
Vậy phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;1 \right)$ khi $m\in \left( 2;4 \right)$
Đáp án C.