Số thực $m$ lớn nhất để bất phương trình $m\left( \left| \sin x...

Đặt $t=\left| \sin x \right|+\left| \cos x \right|\Rightarrow t\ge 0$
$\Rightarrow {{t}^{2}}={{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x+2\left| \sin x.\cos x \right|$
$\Leftrightarrow {{t}^{2}}=1+\left| \sin 2x \right|\Rightarrow 1\le {{t}^{2}}\le 2$
$\Leftrightarrow {{t}^{2}}-1=\left| \sin 2x \right|$
Ta có: $1\le t\le \sqrt{2}$
$m\left( \left| \sin x \right|+\left| \cos x \right|+1 \right)+2019\le \left| \sin 2x \right|+\left| \sin x \right|+\left| \cos x \right|$
$\Leftrightarrow m\left( t+1 \right)+2019\le \left( {{t}^{2}}-1 \right)+t$
$\Leftrightarrow m\left( t+1 \right)\le {{t}^{2}}+t-2020\Leftrightarrow m\le \dfrac{{{t}^{2}}+t-2020}{t+1} (1)$ (với $t\in \left[ 1;\sqrt{2} \right]$ )
Xét hàm $g\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+t-2020}{t+1}$ ; với $t\in \left[ 1;\sqrt{2} \right]$
${g}'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+2t+2021}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}>0,\forall t\in \left[ 1;\sqrt{2} \right]$

Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta có: (1) luôn đúng với mọi $t\in \left[ 1;\sqrt{2} \right]$
$\Leftrightarrow m\le g\left( t \right),\forall t\in \left[ 1;\sqrt{2} \right]\Leftrightarrow m\le -1009\Rightarrow \max m=-1009$