Google
Câu hỏi: Số thực dương $m$ thỏa mãn $I=\int\limits_{m}^{4m}{\dfrac{{{x}^{2}}-2{{m}^{2}}}{{{x}^{4}}+4{{m}^{4}}}dx}=\dfrac{1}{4}$ có thể biểu diễn về dạng $a\ln 5-b\ln 13$ (trong đó $a,b$ là các số nguyên). Giá trị của biểu thức $a+2023b$ là
A. $2020$.
B. $2021$.
C. $2022$.
D. $2025$.
A. $2020$.
B. $2021$.
C. $2022$.
D. $2025$.
Ta có biến đổi sau:
$I=\int\limits_{m}^{4m}{\dfrac{{{x}^{2}}-2{{m}^{2}}}{{{x}^{4}}+4{{m}^{4}}}dx}=\int\limits_{m}^{4m}{\dfrac{1-\dfrac{2{{m}^{2}}}{{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}+\dfrac{4{{m}^{4}}}{{{x}^{2}}}}dx}=\int\limits_{m}^{4m}{\dfrac{1-\dfrac{2{{m}^{2}}}{{{x}^{2}}}}{{{\left( x+\dfrac{2{{m}^{2}}}{x} \right)}^{2}}-4{{m}^{2}}}dx=}\int\limits_{3m}^{4,5m}{\dfrac{1}{{{t}^{2}}-4{{m}^{2}}}dt}$
$=\dfrac{1}{4m}\left. \ln \left| \dfrac{t-2m}{t+2m} \right| \right|_{3m}^{4,5m}=\dfrac{1}{4m}\left( \ln \left| \dfrac{5}{13} \right|-\ln \left| \dfrac{1}{5} \right| \right)=\dfrac{1}{4m}\ln \left| \dfrac{25}{13} \right|.$
Như vậy $I=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow \dfrac{1}{4m}\ln \dfrac{25}{13}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow m=2\ln 5-\ln 13.$
Ta có: $a\ln 5-b\ln 13=2\ln 5-\ln 13\Leftrightarrow \left( a-2 \right)\ln 5=\left( b-1 \right)\ln 13$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& b=1 \\
& a=2 \\
\end{aligned} \right. \left( 1 \right) \\
& \left\{ \begin{aligned}
& b\ne 1 \\
& \dfrac{a-2}{b-1}=\dfrac{\ln 13}{\ln 5} \\
\end{aligned} \right. \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right..$
Trường hợp $\left( 2 \right)$ loại vì vế trái (2) là số hữu tỉ, vế phải (2) là số vô tỉ.
Vậy $a=2,b=1$.Suy ra $a+2023b=2025$.
$I=\int\limits_{m}^{4m}{\dfrac{{{x}^{2}}-2{{m}^{2}}}{{{x}^{4}}+4{{m}^{4}}}dx}=\int\limits_{m}^{4m}{\dfrac{1-\dfrac{2{{m}^{2}}}{{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}+\dfrac{4{{m}^{4}}}{{{x}^{2}}}}dx}=\int\limits_{m}^{4m}{\dfrac{1-\dfrac{2{{m}^{2}}}{{{x}^{2}}}}{{{\left( x+\dfrac{2{{m}^{2}}}{x} \right)}^{2}}-4{{m}^{2}}}dx=}\int\limits_{3m}^{4,5m}{\dfrac{1}{{{t}^{2}}-4{{m}^{2}}}dt}$
$=\dfrac{1}{4m}\left. \ln \left| \dfrac{t-2m}{t+2m} \right| \right|_{3m}^{4,5m}=\dfrac{1}{4m}\left( \ln \left| \dfrac{5}{13} \right|-\ln \left| \dfrac{1}{5} \right| \right)=\dfrac{1}{4m}\ln \left| \dfrac{25}{13} \right|.$
Như vậy $I=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow \dfrac{1}{4m}\ln \dfrac{25}{13}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow m=2\ln 5-\ln 13.$
Ta có: $a\ln 5-b\ln 13=2\ln 5-\ln 13\Leftrightarrow \left( a-2 \right)\ln 5=\left( b-1 \right)\ln 13$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& b=1 \\
& a=2 \\
\end{aligned} \right. \left( 1 \right) \\
& \left\{ \begin{aligned}
& b\ne 1 \\
& \dfrac{a-2}{b-1}=\dfrac{\ln 13}{\ln 5} \\
\end{aligned} \right. \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right..$
Trường hợp $\left( 2 \right)$ loại vì vế trái (2) là số hữu tỉ, vế phải (2) là số vô tỉ.
Vậy $a=2,b=1$.Suy ra $a+2023b=2025$.
Đáp án D.