Số thực dương $m$ thỏa mãn...

The Funny · 27/5/23

Câu hỏi: Số thực dương

m

thỏa mãn

I = \int_{m}^{4 m} \frac{x^{2} - 2 m^{2}}{x^{4} + 4 m^{4}} d x = \frac{1}{4}

có thể biểu diễn về dạng

a \ln 5 - b \ln 13

(trong đó

a, b

là các số nguyên). Giá trị của biểu thức

a + 2023 b

là
A.

2020

.
B.

2021

.
C.

2022

.
D.

2025

.

Ta có biến đổi sau:

I = \int_{m}^{4 m} \frac{x^{2} - 2 m^{2}}{x^{4} + 4 m^{4}} d x = \int_{m}^{4 m} \frac{1 - \frac{2 m^{2}}{x^{2}}}{x^{2} + \frac{4 m^{4}}{x^{2}}} d x = \int_{m}^{4 m} \frac{1 - \frac{2 m^{2}}{x^{2}}}{{(x + \frac{2 m^{2}}{x})}^{2} - 4 m^{2}} d x = \int_{3 m}^{4, 5 m} \frac{1}{t^{2} - 4 m^{2}} d t

= \frac{1}{4 m} {\ln | \frac{t - 2 m}{t + 2 m} | |}_{3 m}^{4, 5 m} = \frac{1}{4 m} (\ln | \frac{5}{13} | - \ln | \frac{1}{5} |) = \frac{1}{4 m} \ln | \frac{25}{13} | .

Như vậy

I = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \frac{1}{4 m} \ln \frac{25}{13} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow m = 2 \ln 5 - \ln 13.

Ta có:

a \ln 5 - b \ln 13 = 2 \ln 5 - \ln 13 \Leftrightarrow (a - 2) \ln 5 = (b - 1) \ln 13

\Leftrightarrow [\begin{aligned} {\begin{aligned} b = 1 \\ a = 2 \end{aligned} (1) \\ {\begin{aligned} b \neq 1 \\ \frac{a - 2}{b - 1} = \frac{\ln 13}{\ln 5} \end{aligned} (2) \end{aligned} .

Trường hợp

(2)

loại vì vế trái (2) là số hữu tỉ, vế phải (2) là số vô tỉ.
Vậy

a = 2, b = 1

.Suy ra

a + 2023 b = 2025

.

Đáp án D.

Số thực dương m thỏa mãn...