Google
Câu hỏi: Số nguyên dương $4095$ $a$ lớn nhất thỏa mãn điều kiện $3\log \left( 1+\sqrt{a}+\sqrt[3]{a} \right)>2{{\log }_{2}}\sqrt{a}$ là?
A. $2016$.
B. $2095$.
C. $3096$.
D. $4095$.
A. $2016$.
B. $2095$.
C. $3096$.
D. $4095$.
Giả sử $a$ thỏa mãn: $3{{\log }_{3}}\left( 1+\sqrt{a}+\sqrt[3]{a} \right)>2{{\log }_{2}}\sqrt{a}$.
Đặt ${{\log }_{2}}\sqrt{a}=3x\Leftrightarrow a={{64}^{x}}$. Ta được bất phương trình: ${{\log }_{2}}\sqrt{a}=3x\Leftrightarrow a=64$ $a=4095$ $3{{\log }_{3}}\left( 1+{{8}^{x}}+{{4}^{x}} \right)>6x$
$3{{\log }_{3}}\left( 1+{{8}^{x}}+{{4}^{x}} \right)>6x\Leftrightarrow 1+{{8}^{x}}+{{4}^{x}}>{{9}^{x}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{1}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \dfrac{8}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \dfrac{4}{9} \right)}^{x}}>1$
Do hàm số $f\left( x \right)={{\left( \dfrac{1}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \dfrac{8}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \dfrac{4}{9} \right)}^{x}}$ nghịch biến trên $R$ và lại có $f\left( 2 \right)=1$ nên
Bất phương trình trở thành $f\left( x \right)>f\left( 2 \right)\Leftrightarrow x<2$.
Suy ra $a<{{64}^{2}}=4096$ nên số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn là $a=4095$.
Đặt ${{\log }_{2}}\sqrt{a}=3x\Leftrightarrow a={{64}^{x}}$. Ta được bất phương trình: ${{\log }_{2}}\sqrt{a}=3x\Leftrightarrow a=64$ $a=4095$ $3{{\log }_{3}}\left( 1+{{8}^{x}}+{{4}^{x}} \right)>6x$
$3{{\log }_{3}}\left( 1+{{8}^{x}}+{{4}^{x}} \right)>6x\Leftrightarrow 1+{{8}^{x}}+{{4}^{x}}>{{9}^{x}}\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{1}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \dfrac{8}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \dfrac{4}{9} \right)}^{x}}>1$
Do hàm số $f\left( x \right)={{\left( \dfrac{1}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \dfrac{8}{9} \right)}^{x}}+{{\left( \dfrac{4}{9} \right)}^{x}}$ nghịch biến trên $R$ và lại có $f\left( 2 \right)=1$ nên
Bất phương trình trở thành $f\left( x \right)>f\left( 2 \right)\Leftrightarrow x<2$.
Suy ra $a<{{64}^{2}}=4096$ nên số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn là $a=4095$.
Đáp án D.