Số nguyên dương $4095$ $a$ lớn nhất thỏa mãn điều kiện $3\log...

The Funny · 28/5/23

Câu hỏi: Số nguyên dương

4095

a

lớn nhất thỏa mãn điều kiện

3 \log (1 + \sqrt{a} + \sqrt[3]{a}) > 2 \log_{2} \sqrt{a}

là?
A.

2016

.
B.

2095

.
C.

3096

.
D.

4095

.

Giả sử

a

thỏa mãn:

3 \log_{3} (1 + \sqrt{a} + \sqrt[3]{a}) > 2 \log_{2} \sqrt{a}

.
Đặt

\log_{2} \sqrt{a} = 3 x \Leftrightarrow a = 64^{x}

. Ta được bất phương trình:

\log_{2} \sqrt{a} = 3 x \Leftrightarrow a = 64

a = 4095

3 \log_{3} (1 + 8^{x} + 4^{x}) > 6 x

3 \log_{3} (1 + 8^{x} + 4^{x}) > 6 x \Leftrightarrow 1 + 8^{x} + 4^{x} > 9^{x} \Leftrightarrow {(\frac{1}{9})}^{x} + {(\frac{8}{9})}^{x} + {(\frac{4}{9})}^{x} > 1

Do hàm số

f (x) = {(\frac{1}{9})}^{x} + {(\frac{8}{9})}^{x} + {(\frac{4}{9})}^{x}

nghịch biến trên

R

và lại có

f (2) = 1

nên
Bất phương trình trở thành

f (x) > f (2) \Leftrightarrow x < 2

.
Suy ra

a < 64^{2} = 4096

nên số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn là

a = 4095

.

Đáp án D.

Số nguyên dương 4095 a lớn nhất thỏa mãn điều kiện $3\log...