Google
Câu hỏi: Số nghiệm nguyên thuộc đoạn $\left[ -99; 100 \right]$ của bất phương trình ${{\left( sin\dfrac{\pi }{5} \right)}^{x}}\ge {{\left( cos\dfrac{3\pi }{10} \right)}^{\dfrac{4}{x}}}$ là
A. $5$.
B. $101$.
C. $100$.
D. $4$.
A. $5$.
B. $101$.
C. $100$.
D. $4$.
Điều kiện $x\ne 0$ $\left( 1 \right)$
Ta có $sin\dfrac{\pi }{5}=cos\left( \dfrac{\pi }{2}-\dfrac{\pi }{5} \right)=cos\dfrac{3\pi }{10}<1$ nên
${{\left( sin\dfrac{\pi }{5} \right)}^{x}}\ge {{\left( cos\dfrac{3\pi }{10} \right)}^{\dfrac{4}{x}}}\Leftrightarrow {{\left( sin\dfrac{\pi }{5} \right)}^{x}}\ge {{\left( sin\dfrac{\pi }{5} \right)}^{\dfrac{4}{x}}}\Leftrightarrow x\le \dfrac{4}{x}\Leftrightarrow x-\dfrac{4}{x}\le 0\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}-4}{x}\le 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 0<x\le 2 \\
& x\le -2 \\
\end{aligned} \right. $ thoã mãn $ \left( 1 \right) $. Vậy trên đoạn $ \left[ -99;100 \right]$có 100 số thỏa mãn bài toán.
Ta có $sin\dfrac{\pi }{5}=cos\left( \dfrac{\pi }{2}-\dfrac{\pi }{5} \right)=cos\dfrac{3\pi }{10}<1$ nên
${{\left( sin\dfrac{\pi }{5} \right)}^{x}}\ge {{\left( cos\dfrac{3\pi }{10} \right)}^{\dfrac{4}{x}}}\Leftrightarrow {{\left( sin\dfrac{\pi }{5} \right)}^{x}}\ge {{\left( sin\dfrac{\pi }{5} \right)}^{\dfrac{4}{x}}}\Leftrightarrow x\le \dfrac{4}{x}\Leftrightarrow x-\dfrac{4}{x}\le 0\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}-4}{x}\le 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& 0<x\le 2 \\
& x\le -2 \\
\end{aligned} \right. $ thoã mãn $ \left( 1 \right) $. Vậy trên đoạn $ \left[ -99;100 \right]$có 100 số thỏa mãn bài toán.
Đáp án C.