Số nghiệm nguyên không âm của bất phương trình...

Đặt ${{2}^{x}}=t$ điều kiện $t>0$.
Ta được bất phương trình $\sqrt{30t+1}\ge \left| t-1 \right|+2t (1)$.
+Với $t\ge 1$ bất phương trình $(1)$ tương đương với bất phương trình
$\sqrt{30t+1}\ge t-1+2t\Leftrightarrow \sqrt{30t+1}\ge 3t-1$
$30t+1\ge {{(3t-1)}^{2}}\Leftrightarrow {{t}^{2}}-4t\le 0\Leftrightarrow 0\le t\le 4$
Do $t\ge 1$ nên ta được: $1\le t\le 4 (*)$
+ Với $0<t<1$ bất phương trình $(1)$ tương đương với bất phương trình
$\sqrt{30t+1}\ge 1-t+2t\Leftrightarrow \sqrt{30t+1}\ge t+1$
$\Leftrightarrow 30t+1\ge {{(t+1)}^{2}}\Leftrightarrow {{t}^{2}}-28t\le 0\Leftrightarrow 0\le t\le 28$
Do $0<t<1$ nên ta được: $0<t<1 (**)$
+Từ $(*)$ và $(**)$ suy ra $0<t\le 4\Rightarrow 0<{{2}^{x}}\le 4\Leftrightarrow x\le 2$.
Do nghiệm $x$ là nguyên không âm nên $x\in \left\{ 0;1;2 \right\}$.