Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\sqrt{2{{\log }_{2}}\left(...

Điều kiện: $\left\{ \begin{aligned}
& x+2>0 \\
& 2{{x}^{2}}-1>0 \\
& {{\log }_{2}}\left( x+2 \right)\ge 0 \\
& {{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>-2 \\
& \left[ \begin{aligned}
& x>\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
& x<-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
& x+2\ge 1 \\
& 2{{x}^{2}}-1\ge 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>-2 \\
& \left[ \begin{aligned}
& x>\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
& x<-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
\end{aligned} \right. \\
& x\ge -1 \\
& \left[ \begin{aligned}
& x\ge 1 \\
& x\le -1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\ge 1 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $x=-1$ là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
Với $x\ge 1$, bất phương trình $\sqrt{2{{\log }_{2}}\left( x+2 \right)}-\sqrt{{{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)}\ge \left( x+1 \right)\left( x-5 \right)$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\log }_{2}}{{\left( x+2 \right)}^{2}}}-\sqrt{{{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)}\ge {{x}^{2}}-4x-5\Leftrightarrow \sqrt{{{\log }_{2}}{{\left( x+2 \right)}^{2}}}-\sqrt{{{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)}\ge \left( 2{{x}^{2}}-1 \right)-\left( {{x}^{2}}+4x+4 \right)$ $\Leftrightarrow \sqrt{{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+4x+4 \right)}+\left( {{x}^{2}}+4x+4 \right)\ge \sqrt{{{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}-1 \right)}+\left( 2{{x}^{2}}-1 \right) \left( * \right)$
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& u={{x}^{2}}+4x+4 \\
& v=2{{x}^{2}}-1 \\
\end{aligned} \right. $, khi đó $ \left( * \right) $ có dạng $ \sqrt{{{\log }_{2}}u}+u\ge \sqrt{{{\log }_{2}}v}+v$.
Xét hàm số $f(t)=\sqrt{{{\log }_{2}}t}+t$ có ${f}'(t)=\dfrac{{{\left( {{\log }_{2}}t \right)}^{\prime }}}{2\sqrt{{{\log }_{2}}t}}+1=\dfrac{1}{2t.\ln 2.\sqrt{{{\log }_{2}}t}}+1>0$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 1;+\infty \right)$, do đó bpt $\sqrt{{{\log }_{2}}u}+u\ge \sqrt{{{\log }_{2}}v}+v\Leftrightarrow u\ge v$.
Khi đó ${{x}^{2}}+4x+4\ge 2{{x}^{2}}-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-5\le 0\Leftrightarrow -1\le x\le 5$. Kết hợp với điều kiện ta có
$x=-1 v 1\le x\le 5$. Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \left\{ -1; 1; 2; 3; 4; 5 \right\}$.