Google
Câu hỏi: Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${{\log }_{4}}\left( x+6 \right)<2-2{{\log }_{4}}x$ bằng
A. $2$.
B. Vô số.
C. $1$.
D. $0$.
A. $2$.
B. Vô số.
C. $1$.
D. $0$.
Điều kiện $x>0$.
Ta có
$\begin{aligned}
& {{\log }_{4}}\left( x+6 \right)<2-2{{\log }_{4}}x\Leftrightarrow {{\log }_{4}}\left( x+6 \right)<{{\log }_{4}}\dfrac{16}{{{x}^{2}}} \\
& \Leftrightarrow x+6<\dfrac{16}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow {{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-16<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x<-2-2\sqrt{3} \\
& -2<x<-2+2\sqrt{3}. \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
So với điều kiện ta có $0<x<-2+2\sqrt{3}$.
Suy ra nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là $x=1$.
Vậy bất phương trình có $1$ nghiệm nguyên.
Ta có
$\begin{aligned}
& {{\log }_{4}}\left( x+6 \right)<2-2{{\log }_{4}}x\Leftrightarrow {{\log }_{4}}\left( x+6 \right)<{{\log }_{4}}\dfrac{16}{{{x}^{2}}} \\
& \Leftrightarrow x+6<\dfrac{16}{{{x}^{2}}}\Leftrightarrow {{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-16<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x<-2-2\sqrt{3} \\
& -2<x<-2+2\sqrt{3}. \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
So với điều kiện ta có $0<x<-2+2\sqrt{3}$.
Suy ra nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là $x=1$.
Vậy bất phương trình có $1$ nghiệm nguyên.
Đáp án C.