Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${{\log }_{2023}}\left(...

The Funny · 25/5/23

Câu hỏi: Số nghiệm nguyên của bất phương trình

\log_{2023} (x \sqrt{x^{2} + 5} - x^{2}) \leq \sqrt{x^{2} + 5} - 4 x

là:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.

(ĐK:

x \sqrt{x^{2} + 5} - x^{2} > 0 \Leftrightarrow x (\sqrt{x^{2} + 5} - x) > 0 \Leftrightarrow x > 0

(do

\sqrt{x^{2} + 5} > | x | \geq x, \forall x \in R

))
Ta có:

\log_{2023} (x \sqrt{x^{2} + 5} - x^{2}) \leq \sqrt{x^{2} + 5} - 4 x \Leftrightarrow \log_{2023} (x \sqrt{x^{2} + 5} - x^{2}) - \sqrt{x^{2} + 5} + 4 x \leq 0

Đặt

f (x) = \log_{2023} (x \sqrt{x^{2} + 5} - x^{2}) - \sqrt{x^{2} + 5} + 4 x

. Khi đó,

\begin{aligned} f^{'} (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 5} + x \cdot \frac{2 x}{2 \sqrt{x^{2} + 5}} - 2 x}{\ln 2023 \cdot (x \sqrt{x^{2} + 5} - x^{2})} - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 5}} + 4 \\ = \frac{2 x^{2} - 2 x \sqrt{x^{2} + 5} + 5}{\ln 2023 \cdot (x \sqrt{x^{2} + 5} - x^{2}) \sqrt{x^{2} + 5}} - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 5}} + 4 \\ = \frac{{(\sqrt{x^{2} + 5} - x)}^{2}}{\ln 2023 \cdot (x \sqrt{x^{2} + 5} - x^{2}) \sqrt{x^{2} + 5}} - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 5}} + 4 \end{aligned}

Suy ra

f^{'} (x) > 0, \forall x \in R

(do

\sqrt{x^{2} + 5} > | x | \geq x, \forall x \in R

).
Do đó,

f

đồng biến trên

(0; + \infty)

.
Do

x > 0, x \in Z

nên

x \geq 1

suy ra

f (x) \geq f (1) \approx 1, 6 > 0

.
Vậy bất phương trình

f (x) \leq 0

vô nghiệm.

Đáp án A.