Google
Câu hỏi: Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${{\log }_{2023}}\left( x\sqrt{{{x}^{2}}+5}-{{x}^{2}} \right)\le \sqrt{{{x}^{2}}+5}-4x$ là:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
(ĐK: $x\sqrt{{{x}^{2}}+5}-{{x}^{2}}>0\Leftrightarrow x\left( \sqrt{{{x}^{2}}+5}-x \right)>0\Leftrightarrow x>0$ (do $\sqrt{{{x}^{2}}+5}>\left| x \right|\ge x,\forall x\in \mathbb{R}$ ))
Ta có:
$\begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+x\cdot \dfrac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+5}}-2x}{\ln 2023\cdot \left( x\sqrt{{{x}^{2}}+5}-{{x}^{2}} \right)}-\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}}+4 \\
& =\dfrac{2{{x}^{2}}-2x\sqrt{{{x}^{2}}+5}+5}{\ln 2023\cdot \left( x\sqrt{{{x}^{2}}+5}-{{x}^{2}} \right)\sqrt{{{x}^{2}}+5}}-\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}}+4 \\
& =\dfrac{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+5}-x \right)}^{2}}}{\ln 2023\cdot \left( x\sqrt{{{x}^{2}}+5}-{{x}^{2}} \right)\sqrt{{{x}^{2}}+5}}-\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}}+4
\end{aligned}$
Suy ra ${f}'\left( x \right)>0,\forall x\in \mathbb{R}$ (do $\sqrt{{{x}^{2}}+5}>\left| x \right|\ge x,\forall x\in \mathbb{R}$ ).
Do đó, $f$ đồng biến trên $\left( 0; +\infty \right)$.
Do $x>0,x\in \mathbb{Z}$ nên $x\ge 1$ suy ra $f\left( x \right)\ge f\left( 1 \right)\approx 1,6>0$.
Vậy bất phương trình $f\left( x \right)\le 0$ vô nghiệm.
Ta có:
${{\log }_{2023}}\left( x\sqrt{{{x}^{2}}+5}-{{x}^{2}} \right)\le \sqrt{{{x}^{2}}+5}-4x\Leftrightarrow {{\log }_{2023}}\left( x\sqrt{{{x}^{2}}+5}-{{x}^{2}} \right)-\sqrt{{{x}^{2}}+5}+4x\le 0$
Đặt $f\left( x \right)={{\log }_{2023}}\left( x\sqrt{{{x}^{2}}+5}-{{x}^{2}} \right)-\sqrt{{{x}^{2}}+5}+4x$. Khi đó,$\begin{aligned}
& {f}'\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+5}+x\cdot \dfrac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+5}}-2x}{\ln 2023\cdot \left( x\sqrt{{{x}^{2}}+5}-{{x}^{2}} \right)}-\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}}+4 \\
& =\dfrac{2{{x}^{2}}-2x\sqrt{{{x}^{2}}+5}+5}{\ln 2023\cdot \left( x\sqrt{{{x}^{2}}+5}-{{x}^{2}} \right)\sqrt{{{x}^{2}}+5}}-\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}}+4 \\
& =\dfrac{{{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+5}-x \right)}^{2}}}{\ln 2023\cdot \left( x\sqrt{{{x}^{2}}+5}-{{x}^{2}} \right)\sqrt{{{x}^{2}}+5}}-\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+5}}+4
\end{aligned}$
Suy ra ${f}'\left( x \right)>0,\forall x\in \mathbb{R}$ (do $\sqrt{{{x}^{2}}+5}>\left| x \right|\ge x,\forall x\in \mathbb{R}$ ).
Do đó, $f$ đồng biến trên $\left( 0; +\infty \right)$.
Do $x>0,x\in \mathbb{Z}$ nên $x\ge 1$ suy ra $f\left( x \right)\ge f\left( 1 \right)\approx 1,6>0$.
Vậy bất phương trình $f\left( x \right)\le 0$ vô nghiệm.
Đáp án A.