Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\left(...

Điều kiện xác định $x+14>0\Leftrightarrow x>-14$.
Trường hợp 1: $\left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{{{x}^{2}}}}-{{4}^{x}}\le 0 \\
& {{\log }_{2}}(x+14)-4\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{{{x}^{2}}}}\le {{2}^{2x}} \\
& x+14\ge 16 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 0\le x\le 2 \\
& x\ge 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=2$.
Trường hợp 2: $\left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{{{x}^{2}}}}-{{4}^{x}}\ge 0 \\
& {{\log }_{2}}(x+14)-4\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{2}^{{{x}^{2}}}}\ge {{2}^{2x}} \\
& 0<x+14\le 16 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& x\ge 2 \\
& x\le 0 \\
\end{aligned} \right. \\
& -14<x\le 2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=2 \\
& -14<x\le 0 \\
\end{aligned} \right.$.
Do $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x\in \left\{ -13;-12;...;-1;0;2 \right\}$.
Vậy có 15 giá trị nguyên của $x$ thoả mãn yêu cầu bài toán.