Số nghiệm của phương trình ${{x}^{2}}-5x-2=\left( {{x}^{2}}-8x+3...

Đặt $u={{x}^{2}}-8x+3,\ v=3x-5$, phương trình đã cho viết lại là $u+v=u{{.8}^{v}}+v{{.8}^{u}}\Leftrightarrow u\left( 1-{{8}^{v}} \right)=v\left( {{8}^{u}}-1 \right)\ \ \left( * \right)$.
Ta thấy $u=0$ hoặc $v=0$ thỏa mãn phương trình (*).
Với $u\ne 0$ và $v\ne 0$ ta có $\left( * \right)\Leftrightarrow \dfrac{1-{{8}^{v}}}{v}=\dfrac{{{8}^{u}}-1}{u}\ \ \left( ** \right)$.
Ta thấy:

• Nếu $u>0$ thì $\dfrac{{{8}^{u}}-1}{u}>0$ và nếu $u<0$ thì $\dfrac{{{8}^{u}}-1}{u}>0$. Do đó $VP\left( ** \right)>0,\ \forall u\ne 0.$

• Nếu $v>0$ thì $\dfrac{1-{{8}^{v}}}{v}<0$ và nếu $v<0$ thì $\dfrac{1-{{8}^{v}}}{v}<0$. Do đó $VT\left( ** \right)<0,\ \forall v\ne 0.$

Từ đó suy ra (**) vô nghiệm.
Như vậy, phương trình đã cho tương đương với $\left[ \begin{aligned}
& u=0 \\
& v=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-8x+3=0 \\
& 3x-5=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=4+\sqrt{13} \\
& x=4-\sqrt{13} \\
& x=\dfrac{5}{3} \\
\end{aligned} \right..$
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.