Google
Câu hỏi: Số nghiệm của phương trình $\sin 2x-\cos x=1+{{\log }_{2}}\left( \sin x \right)$ trên khoảng $\left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ là:
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
Vì $\sin x>0$ và $\cos x>0,\forall x\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ nên phương trình đã cho tương đương
$\sin 2x-\cos x+{{\log }_{2}}\left( \cos x \right)=1+{{\log }_{2}}\left( \sin x \right)+{{\log }_{2}}\left( \cos x \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \cos x \right)-\cos x={{\log }_{2}}\left( \sin 2x \right)-\sin 2x \left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t-t,$ với $t\in \left( 0;1 \right)$ ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}-1>0,\forall t\in \left( 0;1 \right).$
Do đó, hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;1 \right).$
Từ phương trình (*), ta có $f\left( \cos x \right)=f\left( \sin 2x \right)\Leftrightarrow \cos x=\sin 2x\Leftrightarrow \sin x=\dfrac{1}{2}$ hay $x=\dfrac{\pi }{6}.$
$\sin 2x-\cos x+{{\log }_{2}}\left( \cos x \right)=1+{{\log }_{2}}\left( \sin x \right)+{{\log }_{2}}\left( \cos x \right)$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \cos x \right)-\cos x={{\log }_{2}}\left( \sin 2x \right)-\sin 2x \left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t-t,$ với $t\in \left( 0;1 \right)$ ta có ${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}-1>0,\forall t\in \left( 0;1 \right).$
Do đó, hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;1 \right).$
Từ phương trình (*), ta có $f\left( \cos x \right)=f\left( \sin 2x \right)\Leftrightarrow \cos x=\sin 2x\Leftrightarrow \sin x=\dfrac{1}{2}$ hay $x=\dfrac{\pi }{6}.$
Đáp án D.