Google
Câu hỏi: Số nghiệm của phương trình $\sin 2 x-\cos x=1+\log _2(\sin x)$ trên khoảng $\left(0 ; \dfrac{\pi}{2}\right)$ là
A. 2 .
B. 1 .
C. 4 .
D. 3 .
A. 2 .
B. 1 .
C. 4 .
D. 3 .
Vì $\sin x>0$ và $\cos x>0, \forall x \in\left(0 ; \dfrac{\pi}{2}\right)$ nên phương trình đã cho tương đương $\sin 2 x-\cos x+\log _2(\cos x)=1+\log _2(\sin x)+\log _2(\cos x)$
$\Leftrightarrow \log _2(\cos x)-\cos x=\log _2(\sin 2 x)-\sin 2 x \quad(*)$
Xét hàm số $f(t)=\log _2 t-t$, với $t \in(0 ; 1)$ ta có $f^{\prime}(t)=\dfrac{1}{t \ln 2}-1>0, \forall t \in(0 ; 1)$.
Do đó, hàm số $f(t)$ đồng biến trên khoảng $(0 ; 1)$.
Từ phương trình $(*)$, ta có $f(\cos x)=f(\sin 2 x) \Leftrightarrow \cos x=\sin 2 x \Leftrightarrow \sin x=\dfrac{1}{2}$ hay $x=\dfrac{\pi}{6}$.
$\Leftrightarrow \log _2(\cos x)-\cos x=\log _2(\sin 2 x)-\sin 2 x \quad(*)$
Xét hàm số $f(t)=\log _2 t-t$, với $t \in(0 ; 1)$ ta có $f^{\prime}(t)=\dfrac{1}{t \ln 2}-1>0, \forall t \in(0 ; 1)$.
Do đó, hàm số $f(t)$ đồng biến trên khoảng $(0 ; 1)$.
Từ phương trình $(*)$, ta có $f(\cos x)=f(\sin 2 x) \Leftrightarrow \cos x=\sin 2 x \Leftrightarrow \sin x=\dfrac{1}{2}$ hay $x=\dfrac{\pi}{6}$.
Đáp án B.
