Google
Câu hỏi: Số nghiệm của phương trình ${{\log }_{3}}\left| {{x}^{2}}-\sqrt{2}x \right|={{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-\sqrt{2}x+2 \right)$ là
A. $2$.
B. $0$.
C. $1$.
D. $3$.
A. $2$.
B. $0$.
C. $1$.
D. $3$.
Điều kiện: $x\ne 0;x\ne \sqrt{2}$.
Đặt ${{\log }_{3}}\left| {{x}^{2}}-\sqrt{2}x \right|={{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-\sqrt{2}x+2 \right)=t$. Khi đó ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{x}^{2}}-\sqrt{2}x \right|={{3}^{t}} \\
& {{x}^{2}}-\sqrt{2}x+2={{5}^{t}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| {{x}^{2}}-\sqrt{2}x \right|={{3}^{t}} \\
& {{x}^{2}}-\sqrt{2}x={{5}^{t}}-2 \\
\end{aligned} \right.$
Từ đó suy ra $\left| {{5}^{t}}-2 \right|={{3}^{t}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{5}^{t}}-2={{3}^{t}} \left( 1 \right) \\
& {{5}^{t}}-2=-{{3}^{t}} \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình $\left( 1 \right)$ tương đương ${{5}^{t}}-{{3}^{t}}-2=0\Leftrightarrow 1-{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}-2.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{t}}=0$.
Xét hàm số $g\left( t \right)=1-{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}-2.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{t}}$.
Khi đó ${g}'\left( t \right)=-{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}\ln \dfrac{3}{5}-2.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{t}}\ln \dfrac{1}{5}>0$.
Do đó hàm số $g\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Suy ra phương trình $g\left( x \right)=0$ có không quá một nghiệm.
Mặt khác vì $t=1$ là một nghiệm của phương trình $g\left( t \right)=0$, nên phương trình $g\left( x \right)=0$ có duy nhất một nghiệm $t=1$.
Với $t=1$ ta có phương trình ${{x}^{2}}-\sqrt{2}x=3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\sqrt{2}x-3=0$.
Phương trình này có hai nghiệm, và hiển nhiên hai nghiệm này cũng là hai nghiệm của phương trình đã cho.
Phương trình $\left( 2 \right)$ tương đương với ${{5}^{t}}+{{3}^{t}}-2=0$.
Xét hàm số $h(t)={{5}^{t}}+{{3}^{t}}-2$.
Khi đó ${h}'(t)={{5}^{t}}\ln 5+{{3}^{t}}\ln 3>0$. Suy ra $h(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Lập luận tương tự phương trình $\left( 1 \right)$, ta có phương trình $\left( 2 \right)$ có duy nhất một nghiệm $t=0$.
Với $t=0$ ta có phương trình ${{x}^{2}}-\sqrt{2}x=-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\sqrt{2}x+1=0$.
Phương trình này vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Đặt ${{\log }_{3}}\left| {{x}^{2}}-\sqrt{2}x \right|={{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-\sqrt{2}x+2 \right)=t$. Khi đó ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& \left| {{x}^{2}}-\sqrt{2}x \right|={{3}^{t}} \\
& {{x}^{2}}-\sqrt{2}x+2={{5}^{t}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| {{x}^{2}}-\sqrt{2}x \right|={{3}^{t}} \\
& {{x}^{2}}-\sqrt{2}x={{5}^{t}}-2 \\
\end{aligned} \right.$
Từ đó suy ra $\left| {{5}^{t}}-2 \right|={{3}^{t}}\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{5}^{t}}-2={{3}^{t}} \left( 1 \right) \\
& {{5}^{t}}-2=-{{3}^{t}} \left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Phương trình $\left( 1 \right)$ tương đương ${{5}^{t}}-{{3}^{t}}-2=0\Leftrightarrow 1-{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}-2.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{t}}=0$.
Xét hàm số $g\left( t \right)=1-{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}-2.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{t}}$.
Khi đó ${g}'\left( t \right)=-{{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{t}}\ln \dfrac{3}{5}-2.{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{t}}\ln \dfrac{1}{5}>0$.
Do đó hàm số $g\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Suy ra phương trình $g\left( x \right)=0$ có không quá một nghiệm.
Mặt khác vì $t=1$ là một nghiệm của phương trình $g\left( t \right)=0$, nên phương trình $g\left( x \right)=0$ có duy nhất một nghiệm $t=1$.
Với $t=1$ ta có phương trình ${{x}^{2}}-\sqrt{2}x=3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\sqrt{2}x-3=0$.
Phương trình này có hai nghiệm, và hiển nhiên hai nghiệm này cũng là hai nghiệm của phương trình đã cho.
Phương trình $\left( 2 \right)$ tương đương với ${{5}^{t}}+{{3}^{t}}-2=0$.
Xét hàm số $h(t)={{5}^{t}}+{{3}^{t}}-2$.
Khi đó ${h}'(t)={{5}^{t}}\ln 5+{{3}^{t}}\ln 3>0$. Suy ra $h(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Lập luận tương tự phương trình $\left( 1 \right)$, ta có phương trình $\left( 2 \right)$ có duy nhất một nghiệm $t=0$.
Với $t=0$ ta có phương trình ${{x}^{2}}-\sqrt{2}x=-1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\sqrt{2}x+1=0$.
Phương trình này vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Đáp án A.