Số nghiệm của phương trình $4 z^2+8|z|-3=0$ trên tập số phức?

Gọi số phức $z=x+y i(x, y \in R)$.
Ta có $4 z^2+8|z|-3=0 \Leftrightarrow 4(x+y i)^2+8 \sqrt{x^2+y^2}-3=0$
$\Leftrightarrow 4 x^2-4 y^2+8 x y i+8 \sqrt{x^2+y^2}-3=0$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4 x^2-4 y^2+8 \sqrt{x^2+y^2}-3=0 \\ 8 x y=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4 x^2-4 y^2+8 \sqrt{x^2+y^2}-3=0 \\ {\left[\begin{array}{l}x=0 \\ y=0\end{array}\right.}\end{array}\right.\right.$
+) Trường hợp 1:x=0
$4 x^2-4 y^2+8 \sqrt{x^2+y^2}-3=0 \Leftrightarrow 4.0^2-4 y^2+8 \sqrt{0^2+y^2}-3=0$
$\Leftrightarrow 8|y|=4 y^2+3 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}|y|=\dfrac{3}{2} \\ |y|=\dfrac{1}{2}\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}y= \pm \sqrt{\dfrac{3}{2}} \\ y= \pm \sqrt{\dfrac{1}{2}}\end{array}\right.\right.$
+) Trường hợp 2: $y=0$
$4 x^2-4 y^2+8 \sqrt{x^2+y^2}-3=0 \Leftrightarrow 4 \cdot x^2-4.0^2+8 \sqrt{x^2+0^2}-3=0$
$4 x^2+8|x|-3=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}|x|=\dfrac{-2+\sqrt{7}}{2} \\ |x|=\dfrac{-2-\sqrt{7}}{2}<0(\text { loai })\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\dfrac{-2+\sqrt{7}}{2} \\ x=\dfrac{2-\sqrt{7}}{2}\end{array}\right.\right.$
Vậy phương trình có 6 nghiệm phức.
Cách 2:
Ta có $4 z^2+8|z|-3=0 \Leftrightarrow 4 z^2=3-8|z|(1)$.
Đặt $t=|z| \geq 0$. Lấy mođun 2 vế của (1), ta có:
$
\begin{aligned}
& 4 t^2=|3-8 t| \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
4 t^2+8 t-3=0 \\
4 t^2-8 t+3=0
\end{array}\right. \\
& \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
t=\dfrac{-2+\sqrt{7}}{2}(T M) \\
t=\dfrac{-2-\sqrt{7}}{2}<0(K T M) \\
t=\dfrac{3}{2}(T M) \\
t=\dfrac{1}{2}(T M)
\end{array}\right.
\end{aligned}
$
Với mỗi giá trị $t \neq \dfrac{3}{8}$, từ (1) suy ra có 2 số phức $z$. Vậy có 6 số phức thỏa mãn.