Google
Câu hỏi: Số giao điểm của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+x+2$ và đường thẳng $y=-2x+1$ là
A. $3$.
B. $0$.
C. $2$.
D. $1$.
A. $3$.
B. $0$.
C. $2$.
D. $1$.
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+x+2$ và đường thẳng $y=-2x+1$ là nghiệm của phương trình ${{x}^{3}}+x+2=-2x+1\Leftrightarrow {{x}^{3}}+3x+1=0$.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+3x+1$ trên $\mathbb{R}$
Ta có ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+3>0 \forall x\in \mathbb{R}$
Suy ra $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Suy ra phương trình $f\left( x \right)=0$ có nhiều nhất 1 nghiệm $\left( 1 \right)$.
Dễ thấy do $f\left( x \right)$ là hàm đa thức nên $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, lại có $f\left( -1 \right).f\left( 0 \right)=-3.1=-3<0$ nên phương trình $f\left( x \right)=0$ có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng $\left( -1 ; 0 \right)$ $\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra phương trình $f\left( x \right)=0$ có đúng 1 nghiệm.
Điều đó có nghĩa là đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+x+2$ cắt đường thẳng $y=-2x+1$ tại duy nhất 1 điểm.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+3x+1$ trên $\mathbb{R}$
Ta có ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+3>0 \forall x\in \mathbb{R}$
Suy ra $f\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Suy ra phương trình $f\left( x \right)=0$ có nhiều nhất 1 nghiệm $\left( 1 \right)$.
Dễ thấy do $f\left( x \right)$ là hàm đa thức nên $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, lại có $f\left( -1 \right).f\left( 0 \right)=-3.1=-3<0$ nên phương trình $f\left( x \right)=0$ có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng $\left( -1 ; 0 \right)$ $\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra phương trình $f\left( x \right)=0$ có đúng 1 nghiệm.
Điều đó có nghĩa là đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+x+2$ cắt đường thẳng $y=-2x+1$ tại duy nhất 1 điểm.
Đáp án D.