Số giao điểm của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+x+2$ và đường thẳng...

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng là nghiệm của phương trình .
Xét hàm số trên
Ta có
Suy ra đồng biến trên
Suy ra phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm .
Dễ thấy do là hàm đa thức nên liên tục trên , lại có nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng .
Từ và suy ra phương trình có đúng 1 nghiệm.
Điều đó có nghĩa là đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại duy nhất 1 điểm.