Google
Câu hỏi: Số giao điểm của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+2x+\text{ln}x$ với đường thẳng $y=x+2$ là:
A. $0$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $3$.
A. $0$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $3$.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+2x+\text{ln}x$ với đường thẳng $y=x+2$ là ${{x}^{3}}+2x+\text{ln}x=x+2$.
Điều kiện $x>0$.
Khi đó phương trình trở thành ${{x}^{3}}+x+\text{ln}x-2=0$.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+x+\text{ln}x-2$, với $x>0$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+1+\dfrac{1}{x}>0,\forall x>0$. Do đó hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+x+\text{ln}x-2$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Khi đó phương trình ${{x}^{3}}+x+\text{ln}x-2=0$ có nhiều nhất là 1 nghiệm.
Nhận thấy $x=1$ là nghiệm của phương trình.
Vậy đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+2x+\text{ln}x$ với đường thẳng $y=x+2$ có 1 giao điểm.
Điều kiện $x>0$.
Khi đó phương trình trở thành ${{x}^{3}}+x+\text{ln}x-2=0$.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+x+\text{ln}x-2$, với $x>0$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+1+\dfrac{1}{x}>0,\forall x>0$. Do đó hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}+x+\text{ln}x-2$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Khi đó phương trình ${{x}^{3}}+x+\text{ln}x-2=0$ có nhiều nhất là 1 nghiệm.
Nhận thấy $x=1$ là nghiệm của phương trình.
Vậy đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+2x+\text{ln}x$ với đường thẳng $y=x+2$ có 1 giao điểm.
Đáp án B.