Số giá trị nguyên $m<10$ để hàm số đồng $y=\ln \left(...

Điều kiện ${{x}^{2}}+mx+1>0.$ Ta có ${y}'=\dfrac{2x+m}{{{x}^{2}}+mx+1}$
Hàm số đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)\Rightarrow {y}'\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2x+m\ge 0 \\
& {{x}^{2}}+mx+1>0 \\
\end{aligned} \right.,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge -2x,\forall x\in \left( 0;+\infty \right) \\
& m>\dfrac{-{{x}^{2}}-1}{x},\forall x\in \left( 0;+\infty \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge \underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }} \left( -2x \right) \\
& m>\underset{\left( 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }} \left( \dfrac{-{{x}^{2}}-1}{x} \right) \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge 0 \\
& m>-2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\ge 0.$
Khi $m=0$ ta có ${y}'=\dfrac{2x}{{{x}^{2}}+1}\ge 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\Rightarrow m=0$ thỏa mãn.
Kết hợp điều kiện bài toán ta có $m\in \left\{ 0;1;2;...;9 \right\}\Rightarrow $ Có giá trị m thỏa mãn.