Số giá trị nguyên không lớn hơn 10 của m để bất phương trình...

Điều kiện $x>2$
Ta có $\left( m-1 \right)\log _{\dfrac{1}{2}}^{2}{{\left( x-2 \right)}^{2}}-4\left( m-5 \right){{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\dfrac{1}{x-2}+4m-4\ge 0$
$\Leftrightarrow 4\left( m-1 \right)\log _{\dfrac{1}{2}}^{2}\left( x-2 \right)+4\left( m-5 \right){{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\left( x-2 \right)+4m-4\ge 0$
Đặt $t={{\log }_{\dfrac{1}{2}}}\left( x-2 \right).$ Do $x\in \left[ \dfrac{5}{4};4 \right]\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right]$
$\begin{aligned}
& 4\left( m-1 \right){{t}^{2}}+4\left( m-5 \right)t+4m-4\ge 0\Leftrightarrow m\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)\ge {{t}^{2}}+5t+1 \\
& \Leftrightarrow m\ge \dfrac{{{t}^{2}}+5t+1}{{{t}^{2}}+t+1}=f\left( t \right) \\
\end{aligned}$
Xét $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+5t+1}{{{t}^{2}}+t+1}$ trên $\left[ -1;1 \right]$
${f}'\left( t \right)=\dfrac{4-4{{t}^{2}}}{{{\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)}^{2}}}\ge 0,\forall t\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow $ Hàm số đồng biến trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$
$\Rightarrow m\ge \dfrac{{{t}^{2}}+5t+1}{{{t}^{2}}+t+1}$ có nghiệm trên $\left[ -1;1 \right]\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{min}} f\left( t \right)\Leftrightarrow m\ge f\left( -1 \right)=-3$
$\left\{ \begin{aligned}
& m\in Z \\
& m\in \left[ -3,10] \right] \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ Có 14 giá trị của m thỏa mãn.