Google
Câu hỏi: Số giá trị nguyên dương của tham số $m$ thỏa $m<10$ để bất phương trình ${{3}^{2x+2}}-{{3}^{x}}.({{3}^{m+2}}+1)+{{3}^{m}}<0$ có ít nhất $3$ nghiệm nguyên là
A. $6$.
B. $9$.
C. $5$.
D. $8$.
A. $6$.
B. $9$.
C. $5$.
D. $8$.
Ta có ${{3}^{2x+2}}-{{3}^{x}}.({{3}^{m+2}}+1)+{{3}^{m}}<0$ $\Leftrightarrow \left( {{3}^{x}}-{{3}^{m}} \right)\left( {{3}^{x+2}}-1 \right)<0$.
Do $m$ là số nguyên dương nên $m\ge 1$, suy ra ${{3}^{x}}-{{3}^{m}}<0$
Vậy $\left( {{3}^{x}}-{{3}^{m}} \right)\left( {{3}^{x+2}}-1 \right)<0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{3}^{x}}-{{3}^{m}}<0 \\
{{3}^{x+2}}-1>0 \\
\end{matrix} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x<m \\
x>-2 \\
\end{matrix} \right.$.
Nên tập nghiệm của ${{3}^{2x+2}}-{{3}^{x}}.({{3}^{m+2}}+1)+{{3}^{m}}<0$ là $S=\left( -2;m \right)$, với $m$ là số nguyên dương thỏa $m<10$. Khi đó $S=\left( -2;m \right)$ có ít nhất $3$ nghiệm nguyên thì $1<m<10$.
Vậy có $8$ giá trị nguyên dương của $m$ thỏa mãn đề bài.
Do $m$ là số nguyên dương nên $m\ge 1$, suy ra ${{3}^{x}}-{{3}^{m}}<0$
Vậy $\left( {{3}^{x}}-{{3}^{m}} \right)\left( {{3}^{x+2}}-1 \right)<0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
{{3}^{x}}-{{3}^{m}}<0 \\
{{3}^{x+2}}-1>0 \\
\end{matrix} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
x<m \\
x>-2 \\
\end{matrix} \right.$.
Nên tập nghiệm của ${{3}^{2x+2}}-{{3}^{x}}.({{3}^{m+2}}+1)+{{3}^{m}}<0$ là $S=\left( -2;m \right)$, với $m$ là số nguyên dương thỏa $m<10$. Khi đó $S=\left( -2;m \right)$ có ít nhất $3$ nghiệm nguyên thì $1<m<10$.
Vậy có $8$ giá trị nguyên dương của $m$ thỏa mãn đề bài.
Đáp án D.