Google
Câu hỏi: Số giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+2}}$ luôn đồng biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)$ là
A. 8.
B. 9.
C. 10.
D. Vô số.
A. 8.
B. 9.
C. 10.
D. Vô số.
Cách 1: Ta có:
${y}'={{\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+2 \right)}^{\prime }}{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+2}}\ln \dfrac{1}{2}=\left( 3{{x}^{2}}-12x+m \right){{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+2}}\ln \dfrac{1}{2}.$
Hàm số $y={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+2}}$ luôn đồng biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)$ khi và chỉ khi
${y}'\ge 0 \forall x\in \left( 1;3 \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-12x+m\le 0 \forall x\in \left( 1;3 \right)$
$\Leftrightarrow m\le -3{{x}^{2}}+12x=f\left( x \right) \forall x\in \left( 1;3 \right).$ Điều kiện: $m\le f\left( 1 \right)=f\left( 3 \right)=9$
Số giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+2}}$ luôn đồng biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)$ là 9
Cách 2: $y={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+2}}$ là hàm số mũ cơ số $a=\dfrac{1}{2}\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow $ hàm số luôn đồng biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)\Leftrightarrow y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+2$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)$
$\Leftrightarrow {y}'\le 0 \forall x\in \left( 1;3 \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-12x+m\le 0 \forall x\in \left( 1;3 \right).$
$\Leftrightarrow m\le -3{{x}^{2}}+12x=f\left( x \right) \forall x\in \left( 1;3 \right).$ Điều kiện: $m\le f\left( 1 \right)=f\left( 3 \right)=9$
${y}'={{\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+2 \right)}^{\prime }}{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+2}}\ln \dfrac{1}{2}=\left( 3{{x}^{2}}-12x+m \right){{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+2}}\ln \dfrac{1}{2}.$
Hàm số $y={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+2}}$ luôn đồng biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)$ khi và chỉ khi
${y}'\ge 0 \forall x\in \left( 1;3 \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-12x+m\le 0 \forall x\in \left( 1;3 \right)$
$\Leftrightarrow m\le -3{{x}^{2}}+12x=f\left( x \right) \forall x\in \left( 1;3 \right).$ Điều kiện: $m\le f\left( 1 \right)=f\left( 3 \right)=9$
Số giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+2}}$ luôn đồng biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)$ là 9
Cách 2: $y={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+2}}$ là hàm số mũ cơ số $a=\dfrac{1}{2}\in \left( 0;1 \right)\Rightarrow $ hàm số luôn đồng biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)\Leftrightarrow y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+mx+2$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1;3 \right)$
$\Leftrightarrow {y}'\le 0 \forall x\in \left( 1;3 \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-12x+m\le 0 \forall x\in \left( 1;3 \right).$
$\Leftrightarrow m\le -3{{x}^{2}}+12x=f\left( x \right) \forall x\in \left( 1;3 \right).$ Điều kiện: $m\le f\left( 1 \right)=f\left( 3 \right)=9$
Đáp án B.