Số giá trị nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình...

Đặt $t={{3}^{\sqrt{{{x}^{2}}-3x+m}-x}}$ với $t>0$, bất phương trình đã cho trở thành ${{t}^{2}}+\dfrac{2}{9}t-\dfrac{1}{27}<0\Leftrightarrow -3<t<\dfrac{1}{9}$.
Do đó $0<t<\dfrac{1}{9}\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-3x+m}-x<-2\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-3x+m}<x-2$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>2 \\
& {{x}^{2}}-3x+m\ge 0 \\
& {{x}^{2}}-3x+m<{{x}^{2}}-4x+4 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>2 \\
& {{x}^{2}}-3x+m\ge 0 \\
& x<4-m \\
\end{aligned} \right.$ (I)
Để bất phương trình đề bài cho có nghiệm thì hệ bất phương trình (I) có nghiệm ta đặt
$\left\{ \begin{matrix}
x>2 \\
{{x}^{2}}-3x+m\ge 0 \\
x<4-m \\
\end{matrix} \begin{matrix}
(1) \\
(2) \\
(3) \\
\end{matrix} \right.$.
Điều kiện cần: Từ $(1)$ và $(3)$ ta có $4-m>2\Leftrightarrow m<2$.
Do $m$ là số nguyên dương nên $m=1$.
Điều kiện đủ: Với $m=1$, hệ bất phương trình (I) trở thành $\left\{ \begin{aligned}
& x>2 \\
& {{x}^{2}}-3x+1\ge 0 \\
& x<3 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2<x<3 \\
& x<\dfrac{3-\sqrt{5}}{2} \vee x>\dfrac{3+\sqrt{5}}{2} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \dfrac{3+\sqrt{5}}{2}<x<3$. Vậy hệ bất phương trình (I) có nghiệm.
Vậy $m=1$.