Google
Câu hỏi: Số giá trị nguyên dương của m để hàm số $y=\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+\left( m-2018 \right)x+2019$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$ là
A. 2016.
B. 2017.
C. 2018.
D. 2019.
A. 2016.
B. 2017.
C. 2018.
D. 2019.
Ta có ${y}'={{x}^{2}}-6x+m-2018$
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)\Leftrightarrow {y}'\le 0,\forall x\in \left( 0;2 \right)$
Suy ra ${{x}^{2}}-6x+m-2018\le 0,\forall x\in \left( 0;2 \right)\Leftrightarrow m\le -{{x}^{2}}+6x+2018,\forall x\in \left( 0;2 \right)$ (1)
Xét hàm số $g\left( x \right)=-{{x}^{2}}+6x+2018,\forall x\in \left( 0;2 \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)=-2x+6>0,\forall x\in \left( 0;2 \right)$
$\Rightarrow $ hàm số $y=g\left( x \right)$ luôn đồng biến trên $\left( 0;2 \right).$
Do đó, để (1) luôn đúng thì $m\le g\left( 0 \right)\Leftrightarrow m\le 2018.$ Vậy có 2018 giá trị ra nguyên dương.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)\Leftrightarrow {y}'\le 0,\forall x\in \left( 0;2 \right)$
Suy ra ${{x}^{2}}-6x+m-2018\le 0,\forall x\in \left( 0;2 \right)\Leftrightarrow m\le -{{x}^{2}}+6x+2018,\forall x\in \left( 0;2 \right)$ (1)
Xét hàm số $g\left( x \right)=-{{x}^{2}}+6x+2018,\forall x\in \left( 0;2 \right)\Rightarrow {g}'\left( x \right)=-2x+6>0,\forall x\in \left( 0;2 \right)$
$\Rightarrow $ hàm số $y=g\left( x \right)$ luôn đồng biến trên $\left( 0;2 \right).$
Do đó, để (1) luôn đúng thì $m\le g\left( 0 \right)\Leftrightarrow m\le 2018.$ Vậy có 2018 giá trị ra nguyên dương.
Đáp án C.