Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2000;21] để phương...

Điều kiện $x>-{\displaystyle \frac{1}{6}}$
Trường hợp 1: $m=21$, phương trình đã cho trở thành
$(x-3)[{\log }_2(3x+1)+{\log }_3(4x+1)+{\log }_5(6x+1)-7]=0$
$\iff [\begin{array}{rl}& x=3\\ & {\log }_2(3x+1)+{\log }_3(4x+1)+{\log }_5(6x+1)-7=0\left(1\right)\end{array}$
Xét hàm số $f\left(x\right)={\log }_2(3x+1)+{\log }_3(4x+1)+{\log }_5(6x+1)-7$ là hàm đồng biến trên khoảng $({\displaystyle \frac{-1}{6}};+\mathrm{\infty })$
Khi đó nếu $x_o$ là nghiệm của phương trình (1) thì $x_o$ là nghiệm duy nhất.
Ta có $f\left(0\right)=-7;f\left(3\right)\approx 0.48>0$, suy ra $f\left(0\right)f\left(3\right)<0$
Theo hệ quả của định lý trung gian, tồn tại $x_o\in (0;3)$ sao cho $f(x_o=0)$
Do vậy $m=21$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp 2: $m<21,$ dẫn đến $x=3$ không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
Phương trình đã cho trở thành ${\log }_2(3x+1)+{\log }_3(4x+1)+{\log }_5(6x+1)-{\displaystyle \frac{7x-m}{x-3}}=0$
Xét hàm số $g\left(x\right)={\log }_2(3x+1)+{\log }_3(4x+1)+{\log }_5(6x+1)-{\displaystyle \frac{7x-m}{x-3}}$ có tập xác định
$d=(-{\displaystyle \frac{1}{6}};3)\cup (3;+\mathrm{\infty })$
Đạo hàm $g^{\prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{(3x+1)\ln 2}}+{\displaystyle \frac{4}{(4x+1)\ln 3}}+{\displaystyle \frac{6}{(6x+1)\ln 5}}+{\displaystyle \frac{21-m}{{(x-3)}^2}}>0,\mathrm{\forall }x\in D$
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình $g\left(x\right)=0$ có đúng hai nghiệm $x_1\in (-{\displaystyle \frac{1}{6}};3)$ và $x_2\in (3;+\mathrm{\infty })$ với mọi $m<21$
Vậy với mọi giá trị nguyên của tham số $m\in [-2000;21]$ thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm thực phân biệt hay có 2022 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.