Google
Câu hỏi: Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2000;21] để phương trình $\left( x-3 \right)\left[ {{\log }_{2}}\left( 3x+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( 4x+1 \right)+{{\log }_{5}}\left( 6x+1 \right) \right]=7x-m$ có đúng hai nghiệm thực là
A. 2.
B. 2022.
C. 1.
D. 2021.
A. 2.
B. 2022.
C. 1.
D. 2021.
Điều kiện $x>-\dfrac{1}{6}$
Trường hợp 1: $m=21$, phương trình đã cho trở thành
$\left( x-3 \right)\left[ {{\log }_{2}}\left( 3x+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( 4x+1 \right)+{{\log }_{5}}\left( 6x+1 \right)-7 \right]=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& {{\log }_{2}}\left( 3x+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( 4x+1 \right)+{{\log }_{5}}\left( 6x+1 \right)-7=0 \left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{\log }_{2}}\left( 3x+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( 4x+1 \right)+{{\log }_{5}}\left( 6x+1 \right)-7$ là hàm đồng biến trên khoảng $\left( \dfrac{-1}{6};+\infty \right)$
Khi đó nếu ${{x}_{o}}$ là nghiệm của phương trình (1) thì ${{x}_{o}}$ là nghiệm duy nhất.
Ta có $f\left( 0 \right)=-7;f\left( 3 \right)\approx 0.48>0$, suy ra $f\left( 0 \right)f\left( 3 \right)<0$
Theo hệ quả của định lý trung gian, tồn tại ${{x}_{o}}\in \left( 0;3 \right)$ sao cho $f\left( {{x}_{o}}=0 \right)$
Do vậy $m=21$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp 2: $m<21,$ dẫn đến $x=3$ không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
Phương trình đã cho trở thành ${{\log }_{2}}\left( 3x+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( 4x+1 \right)+{{\log }_{5}}\left( 6x+1 \right)-\dfrac{7x-m}{x-3}=0$
Xét hàm số $g\left( x \right)={{\log }_{2}}\left( 3x+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( 4x+1 \right)+{{\log }_{5}}\left( 6x+1 \right)-\dfrac{7x-m}{x-3}$ có tập xác định
$d=\left( -\dfrac{1}{6};3 \right)\cup \left( 3;+\infty \right)$
Đạo hàm $g'\left( x \right)=\dfrac{3}{\left( 3x+1 \right)\ln 2}+\dfrac{4}{\left( 4x+1 \right)\ln 3}+\dfrac{6}{\left( 6x+1 \right)\ln 5}+\dfrac{21-m}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in D$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình $g\left( x \right)=0$ có đúng hai nghiệm ${{x}_{1}}\in \left( -\dfrac{1}{6};3 \right)$ và ${{x}_{2}}\in \left( 3;+\infty \right)$ với mọi $m<21$
Vậy với mọi giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -2000;21 \right]$ thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm thực phân biệt hay có 2022 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp 1: $m=21$, phương trình đã cho trở thành
$\left( x-3 \right)\left[ {{\log }_{2}}\left( 3x+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( 4x+1 \right)+{{\log }_{5}}\left( 6x+1 \right)-7 \right]=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& {{\log }_{2}}\left( 3x+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( 4x+1 \right)+{{\log }_{5}}\left( 6x+1 \right)-7=0 \left( 1 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{\log }_{2}}\left( 3x+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( 4x+1 \right)+{{\log }_{5}}\left( 6x+1 \right)-7$ là hàm đồng biến trên khoảng $\left( \dfrac{-1}{6};+\infty \right)$
Khi đó nếu ${{x}_{o}}$ là nghiệm của phương trình (1) thì ${{x}_{o}}$ là nghiệm duy nhất.
Ta có $f\left( 0 \right)=-7;f\left( 3 \right)\approx 0.48>0$, suy ra $f\left( 0 \right)f\left( 3 \right)<0$
Theo hệ quả của định lý trung gian, tồn tại ${{x}_{o}}\in \left( 0;3 \right)$ sao cho $f\left( {{x}_{o}}=0 \right)$
Do vậy $m=21$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp 2: $m<21,$ dẫn đến $x=3$ không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
Phương trình đã cho trở thành ${{\log }_{2}}\left( 3x+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( 4x+1 \right)+{{\log }_{5}}\left( 6x+1 \right)-\dfrac{7x-m}{x-3}=0$
Xét hàm số $g\left( x \right)={{\log }_{2}}\left( 3x+1 \right)+{{\log }_{3}}\left( 4x+1 \right)+{{\log }_{5}}\left( 6x+1 \right)-\dfrac{7x-m}{x-3}$ có tập xác định
$d=\left( -\dfrac{1}{6};3 \right)\cup \left( 3;+\infty \right)$
Đạo hàm $g'\left( x \right)=\dfrac{3}{\left( 3x+1 \right)\ln 2}+\dfrac{4}{\left( 4x+1 \right)\ln 3}+\dfrac{6}{\left( 6x+1 \right)\ln 5}+\dfrac{21-m}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}>0,\forall x\in D$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình $g\left( x \right)=0$ có đúng hai nghiệm ${{x}_{1}}\in \left( -\dfrac{1}{6};3 \right)$ và ${{x}_{2}}\in \left( 3;+\infty \right)$ với mọi $m<21$
Vậy với mọi giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -2000;21 \right]$ thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm thực phân biệt hay có 2022 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án B.