Số giá trị nguyên của m thuộc đoạn $\left[ -2019;2019 \right]$ để...

Đặt ${{2}^{x}}=t,t>0$. Phương trình ${{4}^{x}}-\left( m+3 \right){{2}^{x}}+3m+1=0 \left( 1 \right)$ có dạng ${{t}^{2}}-\left( m+3 \right)t+3m+1=0 \left( 2 \right).$
Để phương trình (1) có đúng một nghiệm lớn hơn 0 thì phương trình (2) có đúng một nghiệm $t>1.$
Cách 1:
TH1: Xét (2) có nghiệm kép lớn hơn 1.
$\left\{ \begin{aligned}
& \Delta ={{\left( m+3 \right)}^{2}}-4\left( 3m+1 \right)=0 \\
& {{t}_{1}}={{t}_{2}}=\dfrac{m+3}{2}>1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-6m+5=0 \\
& m>-1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=5 \\
\end{aligned} \right.$(thoản mãn).
TH2: Phương trình (2) có hai nghiệm ${{t}_{1}}=1<{{t}_{2}}.$
Đặt $f\left( t \right)={{t}^{2}}-\left( m+3 \right)t+3m+1.$
$\left\{ \begin{aligned}
& f\left( 1 \right)=0 \\
& {{t}_{2}}=3m+1>1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m=\dfrac{1}{2} \\
& m>0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}$(loại vì m nguyên).
TH3: Phương trình (2) có hai nghiệm ${{t}_{1}}<1<{{t}_{2}}\Leftrightarrow 1.f\left( 1 \right)<0\Leftrightarrow m<\dfrac{1}{2}$. Mà m nguyên trong đoạn $\left[ -2019;2019 \right]$ nên có 2020 giá trị của m.
Vậy có tất cả 2022 giá trị của m.
Cách 2:
Ta có: ${{t}^{2}}-\left( m+3 \right)t+3m+1=0\Leftrightarrow \dfrac{{{t}^{2}}-3t+1}{t-3}=m$ (vì $t=3$ không là nghiệm của phương trình).
Xét hàm số $g\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-3t+1}{t-3},t\in \left( 1;+\infty \right)\backslash \left\{ 3 \right\}.$
Ta có:${g}'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-6t+8}{{{\left( t-3 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=2 \\
& t=4 \\
\end{aligned} \right..$
Bảng biến thiên
Căn cứ BBT ta thấy: $\left[ \begin{aligned}
& m=1 \\
& m=5 \\
& m\le \dfrac{1}{2} \\
\end{aligned} \right. $, do đó có tất cả 2022 giá trị nguyên của m trong$ \left[ -2019;2019 \right]$.
Bước 1: Đặt ẩn phụ $t=u\left( x \right)$ và tìm điều kiện của t. Khi đó phương trình trở thành phương trình ẩn t.
Bước 2: Cô lập m và khảo sát hàm số $f\left( t \right)$ để xét tương giao giữa đồ thị hàm số $y=f\left( t \right)$ và đường thẳng $y=m.$