Số giá trị nguyên của $m\in \left( -200;200 \right)$ để...

Đặt $\sqrt{{{\log }_{a}}b}=x$, $x>0$.
Suy ra $b={{a}^{{{x}^{2}}}}$.
Khi đó $3.{{a}^{\sqrt{{{\log }_{a}}b}}}-{{b}^{\sqrt{{{\log }_{b}}a}}}>m.\sqrt{{{\log }_{a}}b}+2$ $\Leftrightarrow 3.{{a}^{x}}-{{\left( {{a}^{{{x}^{2}}}} \right)}^{\dfrac{1}{x}}}>m.x+2$ $\Leftrightarrow \dfrac{2.{{a}^{x}}-2}{x}>m$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{2.{{a}^{x}}-2}{x}$, với $x>0$.
có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{2{{a}^{x}}\left( x.\ln a+2 \right)}{{{x}^{2}}}>0$, $\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$ nên $f\left( x \right)$ liên tục và đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Bảng biến thiên
Dựa vào BBT ta thấy $m<f\left( x \right)$ $\Leftrightarrow m<2\ln a$.
Vì $\ln a>0,\forall a>1$, do đó $3.{{a}^{\sqrt{{{\log }_{a}}b}}}-{{b}^{\sqrt{{{\log }_{b}}a}}}>m.\sqrt{{{\log }_{a}}b}+2$ với mọi $a$, $b\in \left( 1;+\infty \right)$ thì $m\le 0$.
Và $m\in \left( -200;200 \right)$ nguyên nên có $200$ số nguyên $m$ thỏa yêu cầu bài toán.