Số giá trị nguyên của $m\in \left( -10;10 \right)$ để phương trình...

Ta có: $PT\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}}+m{{\left( \dfrac{\sqrt{10}-1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}}=6\left( * \right)$.
Nhận xét: ${{\left( \dfrac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}}{{\left( \dfrac{\sqrt{10}-1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}}={{\left[ \left( \dfrac{\sqrt{10}+1}{3} \right)\left( \dfrac{\sqrt{10}-1}{3} \right) \right]}^{{{x}^{2}}}}=1$
Đặt $t={{\left( \dfrac{\sqrt{10}+1}{3} \right)}^{{{x}^{2}}}}$, do ${{x}^{2}}\ge 0\Rightarrow t\ge 1$
Với $t=1\Rightarrow x=0$. Với $t>1$ mỗi giá trị của $t$ có hai giá trị của $x$.
Phương trình (*) trở thành: $t+\dfrac{m}{t}=6\Leftrightarrow m=6t-{{t}^{2}}=g\left( t \right)$ với $t\ge 1$.
Khi đó ${g}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow 6-2t=0\Leftrightarrow t=3$. Bảng biến thiên của $g\left( t \right)$.
$t$
1

3

$+\infty $
${g}'\left( t \right)$

+
0


$g\left( t \right)$
20637517208500

298450175895009



5



$-\infty $
Để phương trình có đúng 2 nghiệm phương trình có đúng 1 nghiệm $t>1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=9 \\
& m<5 \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \left( -10;10 \right) \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ có 15 giá trị của tham số $ m$.