Số giá trị nguyên của $m\in (-10;10)$ để phương trình...

Ta có: $PT\iff {\left({\displaystyle \frac{\sqrt{10}+1}{3}}\right)}^{x^2}+m{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{10}-1}{3}}\right)}^{x^2}=6(\ast )$.
Nhận xét: ${\left({\displaystyle \frac{\sqrt{10}+1}{3}}\right)}^{x^2}{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{10}-1}{3}}\right)}^{x^2}={\left[\left({\displaystyle \frac{\sqrt{10}+1}{3}}\right)\left({\displaystyle \frac{\sqrt{10}-1}{3}}\right)\right]}^{x^2}=1$
Đặt $t={\left({\displaystyle \frac{\sqrt{10}+1}{3}}\right)}^{x^2}$, do $x^2\ge 0\Rightarrow t\ge 1$
Với $t=1\Rightarrow x=0$. Với $t>1$ mỗi giá trị của $t$ có hai giá trị của $x$.
Phương trình (*) trở thành: $t+{\displaystyle \frac{m}{t}}=6\iff m=6t-t^2=g\left(t\right)$ với $t\ge 1$.
Khi đó $g^{\prime }\left(t\right)=0\iff 6-2t=0\iff t=3$. Bảng biến thiên của $g\left(t\right)$.
$t$
1

3

$+\mathrm{\infty }$
$g^{\prime }\left(t\right)$

+
0


$g\left(t\right)$
20637517208500

298450175895009



5



$-\mathrm{\infty }$
Để phương trình có đúng 2 nghiệm phương trình có đúng 1 nghiệm $t>1\iff [\begin{array}{rl}& m=9\\ & m<5\end{array}$
Kết hợp $\{\begin{array}{rl}& m\in (-10;10)\\ & m\in \mathbb{Z}\end{array}\Rightarrow$ có 15 giá trị của tham số $m$.