Số giá trị nguyên của $m$ để phương trình...

Ta có: ${{8}^{{{x}^{2}}}}-3\cdot {{4}^{{{x}^{2}}+1}}=m\Leftrightarrow {{\left( {{2}^{{{x}^{2}}}} \right)}^{3}}-12\cdot {{\left( {{2}^{{{x}^{2}}}} \right)}^{2}}=m$.
Đặt $t={{2}^{{{x}^{2}}}}$ với $t\ge 1$. Khi đó ta được phương trình: ${{t}^{3}}-12{{t}^{2}}=m$ (1).
Xét hàm số $y={{t}^{3}}-12{{t}^{2}}{{,}^{{}}}t\ge 1$. Đạo hàm ${y}'=3{{t}^{2}}-24t{{,}^{{}}}t\ge 1$.
${y}'=0\Leftrightarrow 3{{t}^{2}}-24t=0\Leftrightarrow t=0$ (loại) hoặc $t=8$ (nhận).
Bảng biến thiên của hàm số
Để phương trình đã cho có không ít hơn ba nghiệm phân biệt thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt thuộc $\left[ 1;+\infty \right)$, dựa vào bảng biến thiên ta suy ra: $-256<m\le -11$.
Mà $m$ lấy các giá trị nguyên nên $m\in \left\{ -255;-254;...;-11 \right\}$, tức có $245$ giá trị nguyên của $m$ thỏa yêu cầu đề bài.