Google
Câu hỏi: Số giá trị nguyên âm của tham số $m$ để phương trình ${{\text{e}}^{x}}+m=\dfrac{4}{{{5}^{x}}-1}+\dfrac{2}{{{5}^{x}}-2}$ có hai nghiệm phân biệt là
A. $4$.
B. $3$.
C. $5$.
D. $6$.
A. $4$.
B. $3$.
C. $5$.
D. $6$.
Phương trình ${{\text{e}}^{x}}+m=\dfrac{4}{{{5}^{x}}-1}+\dfrac{2}{{{5}^{x}}-2}\Leftrightarrow m=\dfrac{4}{{{5}^{x}}-1}+\dfrac{2}{{{5}^{x}}-2}-{{\text{e}}^{x}}$.
Đặt $f\left( x \right)=\dfrac{4}{{{5}^{x}}-1}+\dfrac{2}{{{5}^{x}}-2}-{{\text{e}}^{x}}$. Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0;{{\log }_{5}}2 \right\}$.
${f}'\left( x \right)=-4.\dfrac{{{5}^{x}}\ln 5}{{{\left( {{5}^{x}}-1 \right)}^{2}}}-2.\dfrac{{{5}^{x}}\ln 5}{{{\left( {{5}^{x}}-2 \right)}^{2}}}-{{\text{e}}^{x}}<0, \forall x\in D$.
Lập bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m\ge -5$.
Vậy có $5$ giá trị nguyên âm của tham số $m$ để phương trình ${{\text{e}}^{x}}+m=\dfrac{4}{{{5}^{x}}-1}+\dfrac{2}{{{5}^{x}}-2}$ có hai nghiệm phân biệt.
Đặt $f\left( x \right)=\dfrac{4}{{{5}^{x}}-1}+\dfrac{2}{{{5}^{x}}-2}-{{\text{e}}^{x}}$. Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0;{{\log }_{5}}2 \right\}$.
${f}'\left( x \right)=-4.\dfrac{{{5}^{x}}\ln 5}{{{\left( {{5}^{x}}-1 \right)}^{2}}}-2.\dfrac{{{5}^{x}}\ln 5}{{{\left( {{5}^{x}}-2 \right)}^{2}}}-{{\text{e}}^{x}}<0, \forall x\in D$.
Lập bảng biến thiên
Vậy có $5$ giá trị nguyên âm của tham số $m$ để phương trình ${{\text{e}}^{x}}+m=\dfrac{4}{{{5}^{x}}-1}+\dfrac{2}{{{5}^{x}}-2}$ có hai nghiệm phân biệt.
Đáp án C.