Google
Câu hỏi: Số giá trị nguyên âm của m để phương trình ${{\log }_{\sqrt{7}}}\left( x-1 \right)={{\log }_{7}}\left( mx+4x \right)$ có nghiệm.
A. 4
B. 2
C. 3
D. 5
A. 4
B. 2
C. 3
D. 5
$\begin{aligned}
& {{\log }_{\sqrt{7}}}\left( x-1 \right)={{\log }_{7}}\left( mx+4x \right)\Leftrightarrow {{\log }_{7}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}={{\log }_{7}}\left( mx+4x \right) \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-1>0 \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}=mx+4x \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-1>0 \\
& {{x}^{2}}-6x+1=mx \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>1 \\
& x-6+\dfrac{1}{x}=m \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Đặt $f\left( x \right)=x-6+\dfrac{1}{x}$
Ta có: $f'\left( x \right)=1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}},f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=\pm 1.$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có nghiệm khi $m>-4$
$m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=-1,m=-2,m=-3$
Vậy có 3 giá trị nguyên âm của m thỏa yêu cầu bài toán.
& {{\log }_{\sqrt{7}}}\left( x-1 \right)={{\log }_{7}}\left( mx+4x \right)\Leftrightarrow {{\log }_{7}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}={{\log }_{7}}\left( mx+4x \right) \\
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-1>0 \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}=mx+4x \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-1>0 \\
& {{x}^{2}}-6x+1=mx \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>1 \\
& x-6+\dfrac{1}{x}=m \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Đặt $f\left( x \right)=x-6+\dfrac{1}{x}$
Ta có: $f'\left( x \right)=1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}},f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 1-\dfrac{1}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=\pm 1.$
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có nghiệm khi $m>-4$
$m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=-1,m=-2,m=-3$
Vậy có 3 giá trị nguyên âm của m thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án C.