Google
Câu hỏi: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}-x+1}{{{x}^{2}}-x-2}$ là
A. $2$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $4$.
A. $2$.
B. $1$.
C. $3$.
D. $4$.
Ta có$$ $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} \frac{{{x}^{2}}-x+1}{{{x}^{2}}-x-2}=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} \frac{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}{1-\frac{1}{x}-\frac{2}{{{x}^{2}}}}=1$
Suy ra đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$.
Lại có:
$\begin{align}
& \underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} \frac{{{x}^{2}}-x+1}{{{x}^{2}}-x-2}=-\infty \\
& \underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }} \frac{{{x}^{2}}-x+1}{{{x}^{2}}-x-2}=+\infty \\
& \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }} \frac{{{x}^{2}}-x+1}{{{x}^{2}}-x-2}=+\infty \\
& \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }} \frac{{{x}^{2}}-x+1}{{{x}^{2}}-x-2}=-\infty \\
\end{align}$
Suy ra đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là $x=-1$ và $x=2$.
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.
Suy ra đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là đường thẳng $y=1$.
Lại có:
$\begin{align}
& \underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }} \frac{{{x}^{2}}-x+1}{{{x}^{2}}-x-2}=-\infty \\
& \underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }} \frac{{{x}^{2}}-x+1}{{{x}^{2}}-x-2}=+\infty \\
& \underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }} \frac{{{x}^{2}}-x+1}{{{x}^{2}}-x-2}=+\infty \\
& \underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }} y=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }} \frac{{{x}^{2}}-x+1}{{{x}^{2}}-x-2}=-\infty \\
\end{align}$
Suy ra đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là $x=-1$ và $x=2$.
Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.
Đáp án C.