Google
Câu hỏi: Số các số nguyên dương $x$ thỏa mãn ${{4}^{x}}+2023\left( x+1 \right)<\left( x+2024 \right){{.2}^{x}}$ là:
A. $7.$
B. $9.$
C. $8.$
D. $10.$
A. $7.$
B. $9.$
C. $8.$
D. $10.$
Ta có:
$\begin{aligned}
& {{4}^{x}}+2023\left( x+1 \right)<\left( x+2024 \right){{.2}^{x}}\Leftrightarrow {{4}^{x}}-{{2024.2}^{x}}+2023-\left( {{2}^{x}}-2023 \right).x<0 \\
& \text{ }\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}-1 \right)\left( {{2}^{x}}-2023 \right)-\left( {{2}^{x}}-2023 \right).x<0 \\
& \text{ }\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}-2023 \right)\left( {{2}^{x}}-x-1 \right)<0 \\
\end{aligned}$
Do $x$ nguyên dương nên ${{2}^{x}}>x+1\Rightarrow {{2}^{x}}-x-1>0$
Do đó bpt $\Leftrightarrow {{2}^{x}}<2023\Rightarrow x\in \left\{ 1;2;....;10 \right\}$.
Vậy có $10$ số nguyên dương $x$ thỏa mãn.
$\begin{aligned}
& {{4}^{x}}+2023\left( x+1 \right)<\left( x+2024 \right){{.2}^{x}}\Leftrightarrow {{4}^{x}}-{{2024.2}^{x}}+2023-\left( {{2}^{x}}-2023 \right).x<0 \\
& \text{ }\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}-1 \right)\left( {{2}^{x}}-2023 \right)-\left( {{2}^{x}}-2023 \right).x<0 \\
& \text{ }\Leftrightarrow \left( {{2}^{x}}-2023 \right)\left( {{2}^{x}}-x-1 \right)<0 \\
\end{aligned}$
Do $x$ nguyên dương nên ${{2}^{x}}>x+1\Rightarrow {{2}^{x}}-x-1>0$
Do đó bpt $\Leftrightarrow {{2}^{x}}<2023\Rightarrow x\in \left\{ 1;2;....;10 \right\}$.
Vậy có $10$ số nguyên dương $x$ thỏa mãn.
Đáp án D.