Số các giá trị nguyên nhỏ hơn $2020$ của tham số $m$ để phương trình ${{\log }_{6}}\left(2020x+m \right)={{\log }_{4}}\left(1010x \right)$ có...

Ta đặt ${{\log }_{6}}\left( 2020x+m \right)={{\log }_{4}}\left( 1010x \right)$ $=t$. Khi đó
$2020x+m={{6}^{t}}$ và $1010x={{4}^{t}}$. Ta suy ra $2\cdot {{4}^{t}}+m={{6}^{t}}\Leftrightarrow m={{6}^{t}}-2\cdot {{4}^{t}}$
Đặt $f\left( t \right)=-{{2.4}^{t}}+{{6}^{t}}$
${f}'\left( t \right)={{6}^{t}}\ln 6-{{2.4}^{t}}.\ln 4$
${f}'\left( t \right)=0$ $\Rightarrow $ ${{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}=\frac{2\ln 4}{\ln 6}={{\log }_{6}}16\Leftrightarrow t={{\log }_{\frac{3}{2}}}\left( {{\log }_{6}}16 \right)$.
Bảng biến thiên

Phương trình $f\left( t \right)=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $m\ge f\left( {{\log }_{\frac{3}{2}}}\left( {{\log }_{6}}16 \right) \right)\approx -2,01$.
Hơn nữa, $\left\{ \begin{aligned}
& m<2020 \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right. $ nên suy ra $ \left\{ \begin{aligned}
& -2\le m\le 2019 \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy ta có $2022$ giá trị $m$ thỏa mãn.