Số các giá trị nguyên nhỏ hơn 2018 để phương trình ${{\log...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Số các giá trị nguyên nhỏ hơn 2018 để phương trình

\log_{6} (2018 x + m) = \log_{4} (1009 x)

có nghiệm của tham số

m

là
A. 2018.
B. 2017.
C. 2019.
D. 2020.

Điều kiện:

x > 0

. Đặt

\log_{4} (1009 x) = t \Leftrightarrow 1009 x = 4^{t}

, khi đó phương trình trở thành:

\log_{6} ({2.4}^{t} + m) = t \Leftrightarrow {2.4}^{t} + m = 6^{t} \Leftrightarrow m = 6^{t} - {2.4}^{t} = f (t)

.
Xét hàm số

f (t) = 6^{t} - {2.4}^{t}

trên

R

, có

f^{'} (t) = 6^{t} . \ln 6 - {2.4}^{t} . \ln 4, \forall t \in R

.
Phương trình

f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow 3^{t} . \ln 6 = 2^{t} . \ln 16 \Leftrightarrow {(\frac{3}{2})}^{'} = \frac{\ln 16}{\ln 6} \Leftrightarrow t_{0} \approx 1, 077

.
Tính

f (t_{0}) \approx - 2, 01

và

lim_{t \to - \infty} f (t) = 0, lim_{t \to + \infty} f (t) = + \infty

.
Do đó, để phương trình

m = f (t)

có nghiệm

\Leftrightarrow m > - 2, 01

.
Kết hợp với điều kiện

{\begin{aligned} m < 2018 \\ m \in Z \end{aligned} \Rightarrow

có 2020 giá trị nguyên

m

cần tìm.

Đáp án D.