Số các giá trị nguyên nhỏ hơn 2018 để phương trình ${{\log...

Điều kiện: $x>0$. Đặt ${{\log }_{4}}\left( 1009x \right)=t\Leftrightarrow 1009x={{4}^{t}}$, khi đó phương trình trở thành:
${{\log }_{6}}\left( {{2.4}^{t}}+m \right)=t\Leftrightarrow {{2.4}^{t}}+m={{6}^{t}}\Leftrightarrow m={{6}^{t}}-{{2.4}^{t}}=f\left( t \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{6}^{t}}-{{2.4}^{t}}$ trên $\mathbb{R}$, có ${f}'\left( t \right)={{6}^{t}}.\ln 6-{{2.4}^{t}}.\ln 4,\forall t\in \mathbb{R}$.
Phương trình ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow {{3}^{t}}.\ln 6={{2}^{t}}.\ln 16\Leftrightarrow {{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{\prime }}=\dfrac{\ln 16}{\ln 6}\Leftrightarrow {{t}_{0}}\approx 1,077$.
Tính $f\left( {{t}_{0}} \right)\approx -2,01$ và $\underset{t\to -\infty }{\mathop{\lim }} f\left( t \right)=0,\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }} f\left( t \right)=+\infty $.
Do đó, để phương trình $m=f\left( t \right)$ có nghiệm $\Leftrightarrow m>-2,01$.
Kết hợp với điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& m<2018 \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow $ có 2020 giá trị nguyên $ m$ cần tìm.