Số các giá trị nguyên nhỏ hơn $2018$ của tham số $m$ để phương...

Đặt ${{\log }_{6}}\left( 2018x+m \right)={{\log }_{4}}\left( 1009x \right)=t$ $\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2018x+m={{6}^{t}} \\
& 1009x={{4}^{t}} \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow 2. {{4}^{t}}+m={{6}^{t}} $ $ \Leftrightarrow m=-2. {{4}^{t}}+{{6}^{t}}$.
Đặt $f\left( t \right)=-2. {{4}^{t}}+{{6}^{t}}$. Ta có: ${f}'\left( t \right)={{6}^{t}}\ln 6-2. {{4}^{t}}.\ln 4$.
Xét ${f}'\left( t \right)=0\Rightarrow {{\left( \dfrac{3}{2} \right)}^{t}}=\dfrac{2\ln 4}{\ln 6}={{\log }_{6}}16$ $\Leftrightarrow t={{\log }_{\dfrac{3}{2}}}\left( {{\log }_{6}}16 \right)$.
Bảng biến thiên:

Phương trình $f\left( t \right)=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $m\ge f\left( {{\log }_{\dfrac{3}{2}}}\left( {{\log }_{6}}16 \right) \right)\approx -2,01$.
Mà $\left\{ \begin{aligned}
& m<2018 \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right. $ nên ta có: $ \left\{ \begin{aligned}
& -2\le m\le 2017 \\
& m\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right. $. Vậy có $ 2020 $ giá trị $ m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.