Google
Câu hỏi: Số các giá trị nguyên không âm để bất phương trình ${{3}^{{{\cos }^{2}}x}}+{{2}^{{{\sin }^{2}}x}}\ge m{{.3}^{{{\sin }^{2}}x}}$ có nghiệm là
A. 1.
B. 5.
C. 3.
D. 4.
A. 1.
B. 5.
C. 3.
D. 4.
Đặt ${{\sin }^{2}}x=t\left( 0\le t\le 1 \right)$
Khi đó, bất phương trình trở thành ${{3}^{\left( 1-t \right)}}+{{2}^{t}}\ge m{{.3}^{t}}\Leftrightarrow \dfrac{3}{{{3}^{t}}}+{{2}^{t}}\ge m{{.3}^{t}}\Leftrightarrow \dfrac{3}{{{\left( {{3}^{t}} \right)}^{2}}}+{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{t}}\ge m$.
Đặt $y=\dfrac{3}{{{9}^{t}}}+{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{t}}\left( 0\le t\le 1 \right)\Rightarrow {y}'=3.{{\left( \dfrac{1}{9} \right)}^{t}}.\ln \dfrac{1}{9}+{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{t}}.\ln \dfrac{2}{3}<0$
$\Rightarrow $ Hàm số luôn nghịch biến.
Dựa vào bảng biến thiên suy ra $m\le 4$ thì bất phương trình có nghiệm.
Suy ra các giá trị nguyên không âm cần tìm là $\left\{ 4;3;2;1;0 \right\}$.
Khi đó, bất phương trình trở thành ${{3}^{\left( 1-t \right)}}+{{2}^{t}}\ge m{{.3}^{t}}\Leftrightarrow \dfrac{3}{{{3}^{t}}}+{{2}^{t}}\ge m{{.3}^{t}}\Leftrightarrow \dfrac{3}{{{\left( {{3}^{t}} \right)}^{2}}}+{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{t}}\ge m$.
Đặt $y=\dfrac{3}{{{9}^{t}}}+{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{t}}\left( 0\le t\le 1 \right)\Rightarrow {y}'=3.{{\left( \dfrac{1}{9} \right)}^{t}}.\ln \dfrac{1}{9}+{{\left( \dfrac{2}{3} \right)}^{t}}.\ln \dfrac{2}{3}<0$
$\Rightarrow $ Hàm số luôn nghịch biến.
Dựa vào bảng biến thiên suy ra $m\le 4$ thì bất phương trình có nghiệm.
Suy ra các giá trị nguyên không âm cần tìm là $\left\{ 4;3;2;1;0 \right\}$.
Đáp án B.