Số các giá trị nguyên của tham số $m\in [-2019;2019]$...

HD: Điều kiện $x^3+4x\ge 0\iff x\ge 0.$
Ta thấy $x=0$ không là nghiệm của phương trình đã cho. Nên ta xét phương trình trên miền $x>0$.
Chia hai vế của phương trình cho x ta được: $x+m+2+{\displaystyle \frac{4}{x}}=(m+1)\sqrt{x+{\displaystyle \frac{4}{x}}}(\ast ).$
Đặt $t=\sqrt{x+{\displaystyle \frac{4}{x}}}\ge 2,$ phương trình (*) trở thành $t^2+m+2=(m-1)t\iff m={\displaystyle \frac{t^2+t+2}{t-1}}=f\left(t\right)$ với $t\ge 2.$
Ta có $f^{\prime }\left(t\right)={\displaystyle \frac{t^2-2t-3}{{(t-1)}^2}}=0\stackrel{t\ge 2}{\to }t=3$
Mặt khác $f\left(2\right)=8,f\left(3\right)=7,\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}f\left(t\right)=+\mathrm{\infty }$ suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi $m\ge 7.$
Kết hợp $\{\begin{array}{rl}& m\in \mathbb{Z}\\ & m\in [-2019;2019]\end{array}\Rightarrow 2013$ giá trị của tham số m.