Google
Câu hỏi: Số các giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -2019;2019 \right]$ để phương trình ${{x}^{2}}+\left( m+2 \right)x+4=\left( m-1 \right)\sqrt{{{x}^{3}}+4x}$ có nghiệm là?
A. 2011
B. 2012
C. 2013
D. 2014
A. 2011
B. 2012
C. 2013
D. 2014
HD: Điều kiện ${{x}^{3}}+4x\ge 0\Leftrightarrow x\ge 0.$
Ta thấy $x=0$ không là nghiệm của phương trình đã cho. Nên ta xét phương trình trên miền $x>0$.
Chia hai vế của phương trình cho x ta được: $x+m+2+\dfrac{4}{x}=\left( m+1 \right)\sqrt{x+\dfrac{4}{x}}\left( * \right).$
Đặt $t=\sqrt{x+\dfrac{4}{x}}\ge 2,$ phương trình (*) trở thành ${{t}^{2}}+m+2=\left( m-1 \right)t\Leftrightarrow m=\dfrac{{{t}^{2}}+t+2}{t-1}=f\left( t \right)$ với $t\ge 2.$
Ta có $f'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-2t-3}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}=0\xrightarrow{t\ge 2}t=3$
Mặt khác $f\left( 2 \right)=8,f\left( 3 \right)=7,\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }} f\left( t \right)=+\infty $ suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi $m\ge 7.$
Kết hợp $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left[ -2019;2019 \right] \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 2013$ giá trị của tham số m.
Ta thấy $x=0$ không là nghiệm của phương trình đã cho. Nên ta xét phương trình trên miền $x>0$.
Chia hai vế của phương trình cho x ta được: $x+m+2+\dfrac{4}{x}=\left( m+1 \right)\sqrt{x+\dfrac{4}{x}}\left( * \right).$
Đặt $t=\sqrt{x+\dfrac{4}{x}}\ge 2,$ phương trình (*) trở thành ${{t}^{2}}+m+2=\left( m-1 \right)t\Leftrightarrow m=\dfrac{{{t}^{2}}+t+2}{t-1}=f\left( t \right)$ với $t\ge 2.$
Ta có $f'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}-2t-3}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}=0\xrightarrow{t\ge 2}t=3$
Mặt khác $f\left( 2 \right)=8,f\left( 3 \right)=7,\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }} f\left( t \right)=+\infty $ suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi $m\ge 7.$
Kết hợp $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left[ -2019;2019 \right] \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 2013$ giá trị của tham số m.
Đáp án C.