Số các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${{\log...

${{\log }_{\sqrt{2}}}\left( x-1 \right)={{\log }_{2}}\left( mx-8 \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x-1>0 \\
& mx-8>0 \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}=mx-8 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>1 \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}=mx-8 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>1 \\
& m=\dfrac{{{x}^{2}}-2x+9}{x} \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}-2x+9}{x}$ trên $\left( 1;+\infty \right)$, ta có: $y'=\dfrac{{{x}^{2}}-9}{{{x}^{2}}}$ ; $y'=0\Leftrightarrow x=\pm 3$
Bảng biến thiên
Để thỏa mãn yêu cầu thì $4<m<8$ nên các giá trị nguyên của tham số $m$ là $5,6,7$.