Số các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${{\log...

${{\log }_{\sqrt{2}}}\left( x-1 \right)={{\log }_{2}}\left( mx-8 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>1 \\
& {{\left( x-1 \right)}^{2}}=mx-8 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x>1 \\
& m=x-2+\dfrac{9}{x}\left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
Xét hàm số $g\left( x \right)=x-2+\dfrac{9}{x}$ trên $\left( 1;+\infty \right)$.
${g}'\left( x \right)=1-\dfrac{9}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& x=-3 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 thì $4<m<8$.
Vì $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ 5;6;7 \right\}$.