Số các giá trị nguyên của $m \in(1 ; 2020)$ để phương trình $x \ln...

Điều kiện: $x>0$.
$
\begin{aligned}
& x \ln x+x e^{-\dfrac{1}{x}}-\left(x+e^{-\dfrac{1}{x}}\right) m=m \ln x-1 \\
& \Leftrightarrow x \ln x+x e^{-\dfrac{1}{x}}-m x-m e^{-\dfrac{1}{x}}-m \ln x+1=0 \Leftrightarrow(x-m)\left(\ln x+e^{-\dfrac{1}{x}}\right)=m x-1
\end{aligned}
$
TH1: Với $x=m$, ta có $\left\{\begin{array}{l}V T=0 \\ V P=m^2-1>0, \forall m \in(1 ; 2020)\end{array} \Rightarrow x=m\right.$ không là nghiệm của phương trình.
TH2: Với $x \neq m$, chia cả 2 vế của (1) cho $x-m$ ta được: $\ln x+e^{-\dfrac{1}{x}}-\dfrac{m x-1}{x-m}=0$
Cách 1:
Đặt $f(x)=\ln x+e^{-\dfrac{1}{x}}, g(x)=\dfrac{m x-1}{x-m}$
Ta có: $f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2} e^{-\dfrac{1}{x}}>0, \forall x>0$, suy ra hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $(0:+\infty)$.
$\forall m \in(1 ; 2020), g^{\prime}(x)=\dfrac{1-m^2}{(x-m)^2}<0, \forall x \neq m$
Khi đó, $\forall m \in(1 ; 2020)$ đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đồ thị hàm số $y=g(x)$ luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. Do đó, $\forall m \in(1 ; 2020)$ phương trình $f(x)=g(x)$ luôn có 2 nghiệm thực phân biệt (1 nghiệm thuộc khoảng $(0 ; m), 1$ nghiệm thuộc khoảng $(m ;+\infty)$
Mà $m \in Z$ suy ra $m=2 ; 3 ; \ldots ; 2019$.
Vậy có 2018 giá trị nguyên của $m \in(1 ; 2020)$ thỏa mãn phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thực.
Cách 2:
Đặt $f(x)=\ln x+e^{-\dfrac{1}{x}}-\dfrac{m x-1}{x-m}, \forall x \neq m, x>0$.
Khi đó số nghiệm của phương trình $f(x)=0$ chính là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và trục hoành $y=0$.
$
\text { Có } f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2} e^{-\dfrac{1}{x}}+\dfrac{m^2-1}{(x-m)^2}>0, \forall x \neq m, x>0, m \in(1 ; 2020)
$
BBT
Dựa vào $\mathrm{BBT}$, ta thấy đồ thị hàm số $y=f(x)$ luôn cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt $\forall m \in$ $(1 ; 2020)$.
Mà $m$ nguyên nên ta có $m=2 ; 3 ; \ldots \ldots ; 2019$.
Vậy có 2018 giá trị nguyên của $m \in(1 ; 2020)$ thỏa mãn phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thực.