. Số các giá trị nguyên của m để hàm số $f\left( x...

Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$
Ta có, $f^{\prime }\left(x\right)=x^2-2(m+50)x+m^2+100m$
Để hàm số nghịch biến trên $(7;13)$ thì phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ phải có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $\{\begin{array}{rl}& x_1\le 7\\ & x_2\ge 13\end{array}.$
Từ đó, ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{\prime }={[-(m+50)]}^2-(m^2+100m)=2500>0,\mathrm{\forall }m\\ & x_1=m\le 7\\ & x_2=m+100\ge 13\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{rl}& m\le 7\\ & m\ge -87\end{array}\iff -87\le m\le 7$
Do m nguyên, cho nên tập hợp các giá trị của m là: $S=\{-87;-86;...;6;7\}$
Có 95 giá trị nguyên của m thỏa mãn.