Số các giá trị của tham số $m$ thuộc $\left( -10;10 \right)$ để...

Ta có $\ln \left( m+\ln \left( m+x \right) \right)=x\quad \left( 1 \right)$.
Điều kiện $x>{{\text{e}}^{-m}}-m$.
Đặt $\ln \left( m+x \right)=y$ ta được ${{\text{e}}^{y}}-m=x$. Thay vào $\left( 1 \right)$ ta được $\ln \left( m+y \right)=x$ $\Leftrightarrow {{\text{e}}^{x}}-m=y$.
Ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& {{\text{e}}^{x}}-m=y \\
& {{\text{e}}^{y}}-m=x \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{\text{e}}^{x}}-{{\text{e}}^{y}}=y-x\Rightarrow {{\text{e}}^{x}}+x={{\text{e}}^{y}}+y $. Do hàm số $ f\left( t \right)={{\text{e}}^{t}}+t $ đồng biến trên $ \mathbb{R} $ nên suy ra $ x=y $ $ \Rightarrow x=\ln \left( x+m \right) $ $ \Leftrightarrow {{\text{e}}^{x}}-x=m$.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{\text{e}}^{x}}-x$ ; ${g}'\left( x \right)={{\text{e}}^{x}}-1$ ; ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0$.
BBT

Suy ra có nghiệm $\Leftrightarrow m>1$, do đó có $8$ giá trị nguyên thỏa mãn.