Google
Câu hỏi: Sân vận động Sports Hub (Singapore) là nơi diễn ra lễ khai mạc đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức ở Singapore năm 2015. Nền sân là một Elip (E) có trục lớn dài 150m, trục bé dài 90m. Nếu cắt sân vận động theo mặt phẳng vuông góc với trục lớn của (E) và cắt (E) tại M và N (hình a) thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm I (phần tô đậm trong bình b) với MN là dây cung và $\widehat{IMN}=90{}^\circ $. Để lắp máy điều hòa không khí cho sân vận động thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và vật liệu làm mái che không đáng kể. Hỏi thể tích đó xấp xỉ bao nhiêu?
B. 115586 ${{m}^{3}}.$
C. 32162 ${{m}^{3}}.$
D. 101793 ${{m}^{3}}.$
A. 57793 ${{m}^{3}}.$ B. 115586 ${{m}^{3}}.$
C. 32162 ${{m}^{3}}.$
D. 101793 ${{m}^{3}}.$
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sau
Phương trình chính tắc Elip (E) là: $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{45}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{75}^{2}}}=1$. Từ đó, suy ra
${{y}^{2}}=\left( 1-\dfrac{{{x}^{2}}}{{{75}^{2}}} \right){{.45}^{2}}\Rightarrow MN=2\sqrt{{{45}^{2}}-\dfrac{{{45}^{2}}}{{{75}^{2}}}{{x}^{2}}}.$
Diện tích thiết diện là:
$S\left( x \right)=\dfrac{\pi {{R}^{2}}}{4}-\dfrac{1}{2}{{R}^{2}}=\left( \dfrac{\pi }{4}-\dfrac{1}{2} \right){{R}^{2}}=\left( \dfrac{\pi }{4}-\dfrac{1}{2} \right){{\left( \dfrac{MN}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}=\left( \dfrac{\pi }{2}-1 \right)\left( {{45}^{2}}-\dfrac{{{45}^{2}}}{{{75}^{2}}}{{x}^{2}} \right)$
Thể tích cần tính là: $V=\int\limits_{-75}^{75}{S\left( x \right)dx}=\int\limits_{-75}^{75}{\left( \dfrac{\pi }{2}-1 \right)\left( {{45}^{2}}-\dfrac{{{45}^{2}}}{{{75}^{2}}}{{x}^{2}} \right)dx\approx 115586{{m}^{3}}}$.
Note 37: Phương pháp chung
Bước 1: Tính diện tích thiết diện S(x).
Bước 2: Tính thể tích vật thể bằng công thức $V=\int\limits_{a}^{b}{S\left( x \right)dx}$.
${{y}^{2}}=\left( 1-\dfrac{{{x}^{2}}}{{{75}^{2}}} \right){{.45}^{2}}\Rightarrow MN=2\sqrt{{{45}^{2}}-\dfrac{{{45}^{2}}}{{{75}^{2}}}{{x}^{2}}}.$
Diện tích thiết diện là:
$S\left( x \right)=\dfrac{\pi {{R}^{2}}}{4}-\dfrac{1}{2}{{R}^{2}}=\left( \dfrac{\pi }{4}-\dfrac{1}{2} \right){{R}^{2}}=\left( \dfrac{\pi }{4}-\dfrac{1}{2} \right){{\left( \dfrac{MN}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}=\left( \dfrac{\pi }{2}-1 \right)\left( {{45}^{2}}-\dfrac{{{45}^{2}}}{{{75}^{2}}}{{x}^{2}} \right)$
Thể tích cần tính là: $V=\int\limits_{-75}^{75}{S\left( x \right)dx}=\int\limits_{-75}^{75}{\left( \dfrac{\pi }{2}-1 \right)\left( {{45}^{2}}-\dfrac{{{45}^{2}}}{{{75}^{2}}}{{x}^{2}} \right)dx\approx 115586{{m}^{3}}}$.
Note 37: Phương pháp chung
Bước 1: Tính diện tích thiết diện S(x).
Bước 2: Tính thể tích vật thể bằng công thức $V=\int\limits_{a}^{b}{S\left( x \right)dx}$.
Đáp án B.